Начну с первого утверждения.
Утверждение.Пусть

- такой кортеж векторов из векторного пространства

над полем

, что для него выполнены следующие свойства:
(1)
.
(2)
Тогда этот кортеж линейно зависим.
Доказательство.Пусть верно только
(1). Тогда

, для некоторых скаляров из поля

.
Но тогда мы получаем, что

, когда все

, а вот скаляр при

равен

, значит кортеж линейно зависим.
Пусть теперь верно
(2).
Тогда для элемента из правой части равенства

существуют такие скаляры для левой части, что

. Но она обращается в нуль когда

, значит исходный кортеж векторов линейно зависим.

.
Вопросы.Верны ли доказательства? Верно ли, что действительно достаточно только одного из этих условий для выполнения утверждения? Просто исходное утверждение звучит (частично) как
if we consider a list
of vectors such that either of the following statements are true:, которое я переводил как
при выполнении обоих условий, но всё никак не мог в доказательстве задействовать второй пункт, решил доказать для каждого по отдельности.