Решение линейного неоднородного уравнения

[Goroshek]

Читая физическую литературу, столкнулся с математическим утверждением касательно уравнения, которое для полноты картины набью:

$$ \sum\limits_{n} \Big(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2} + U(x-na) - \varepsilon(p) \Big) w^{(1)}(x) \textrm{e}^{\frac{ipna}{\hbar}} = (\varepsilon(p) - \varepsilon_0) \sum\limits_{n} \textrm{e}^{\frac{ipna}{\hbar}} w_n^{(0)}(x) - \sum\limits_{n} h(x) \textrm{e}^{\frac{ipna}{\hbar}} w_n^{(0)}(x) $$

"Это линейное неоднородное уравнение относительно $w^{(1)}$. Согласно общему правилу такое уравнение имеет решение лишь в том случае, если правая часть ортогональна решению соответствующего однородного уравнения с теми же граничными условиями. Эти условия заключаются в обращении $w$ в нуль на $\pm \infty$. "
Мне непонятно, о каком общем правиле идёт речь. Я себе представляю это так: пусть есть линейный оператор $L$ и однородное уравнение с этим оператором, имеющее решение $u^{(0)}$:

$$ L u^{(0)}(x) = 0$$

Пусть также есть задача с тем же оператором и теми же гран. условиями, но с правой частью $v$:

$$ L u^{(1)}(x) = v(x) $$

И в этой ситуации, если я верно понимаю, необходимо доказать, что

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} v^{*}(x) u^{(0)}(x) dx = 0 $$

Чисто интуитивно можно было бы записать это скалярное произведение в таком виде

$$ \langle v, u^{(0)} \rangle = \langle Lu^{(1)}, u^{(0)} \rangle $$

И вот тут-то, если бы рассматриваемый оператор был эрмитов, можно бы было перекинуть его действие с эрмитовым сопряжением на второй аргумент, на эрмитово сопряжение "забить" и получить

$$ \langle v, u^{(0)} \rangle = \langle u^{(1)}, Lu^{(0)} \rangle = \langle u^{(1)}, 0 \rangle = 0 $$

Что и требовалось. Выходит, упомянутое "общее правило" такое - для эрмитова оператора элементы его ядра ортогональны образу? Но тогда не очень понятно - про эрмитовость в книжке не упомянуто, хотя и получить её можно (эрмитовость второй производной на пространстве достаточно гладких функций с спаданием на плюс-минус бесконечности доказывается, остальные входящие в оператор слагаемые - число или вещественнозначная функция, итого эрмитов). Да и само "общее правило" - это выходит что-то на тему теоремы Фредгольма?

$$ \operatorname{Ker} L^{*} = (\operatorname{Im} L)^{\perp} $$

Тут можно для эрмитового заменить $L^{*}$ на $L$ и получить желаемое. Действительно ли автор имел в виду это, описывая "общее правило" или я давно потерял с ним контакт?

[vpb]

Goroshek в сообщении #1419792 писал(а):

Да и само "общее правило" - это выходит что-то на тему теоремы Фредгольма?

Да, я думаю, именно это имелось в виду. А эрмитовость не упомянул в явном виде, наверное, потому что считал этот момент очевидным.