Параметрическая кривая

[Icarus]

Из учебника по физике, но вопрос скорее математический.

"Рассмотрим декартовую систему координат, в которой закон движения принемает вид

$$x=x(t); y=y(t); z=z(t)$$

Исключая параметр $t$ получим одну из трех возмножных систем

$$\varphi(x,y)=0$$

$$\Psi(y,z)=0$$

$$\varphi(x,y)=0$$

$$\chi(x,z)=0$$

$$\Psi(y,z)=0$$

$$\chi(x,z)=0$$

Каждая из этих систем определяет траекторию движения точки. Это линия есть пересечение двух цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны соответствующим осям координат"

Во-первых, я не понял почему это мы всегда можем исключить параметр $t$ ? Я же могу написать систему с какими-нибудь там $t\sin(t)$ и ничего не исключится.
Во-вторых, почему именно цилиндры ? Там же для цилиндра должно

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

[Xaositect]

Может, это не общий случай, а конкретный пример движения разбирается?

[пианист]

Icarus в сообщении #1419738 писал(а):

Во-первых, я не понял почему это мы всегда можем исключить параметр $t$ ? Я же могу написать систему с какими-нибудь там $t\sin(t)$ и ничего не исключится.

Вы имеете в виду - не получится выразить в элементарных функциях? А в источнике предполагается, что именно через элементарные?

Icarus в сообщении #1419738 писал(а):

Во-вторых, почему именно цилиндры ? Там же для цилиндра должно

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

Я думаю, цилиндр там в том смысле, что уравнение не зависит от одной из переменных.

[Icarus]

Xaositect в сообщении #1419740 писал(а):

Может, это не общий случай, а конкретный пример движения разбирается?

Общий, вроде как.

пианист в сообщении #1419744 писал(а):

А в источнике предполагается, что именно через элементарные?

Про элементарность ничего не сказано. Про неэлементарность тоже.

пианист в сообщении #1419744 писал(а):

Я думаю, цилиндр там в том смысле, что уравнение не зависит от одной из переменных.

С этим разобрался. Цилиндрическое -- это вообще любое уравнение вида $F(x,y)=0$, точнее произвольная цилиндрическая поверхность так задается.

Если что, это "Алешкевич, Деденко, Караваев. Механика. 2011" Лекция 2. стр. 22.

[пианист]

Icarus в сообщении #1419759 писал(а):

Про элементарность ничего не сказано

А почему тогда Вы считаете, что $x = t\sin t$ нельзя обратить? Очень даже, другое дело, что получившуюся функцию $t = \Phi (x)$ через элементарные не выразишь, ну так и что с того. Все, что требуется, это чтобы хоть какая-то из функций в правой части действительно от $t$ зависела, т.е. не была бы константой, но в противном случае это нельзя было бы и кривой назвать.
Более существенно, что такое обращение может вполне оказаться возможным осуществить только локально, вот это реально добавляет разнообразия..

[Icarus]

пианист
Хм. Ну если так, то ОК. Мудрено конечно, но я еще обдумаю. Спасибо!