Несоответствие с теоремой о пределе композиции

[Rusit8800]

Известна теорема о пределе композиции функции(взято из Зорича): Пусть $Y$ - множество, $\[{\mathfrak{B}_Y}\]$ - база в $Y$, $\[g:Y \to \mathbb{R}\]$ - отображение, имеющее предел по базе $\[{\mathfrak{B}_Y}\]$. Пусть $X$ - множество,$\[{\mathfrak{B}_X}\]$ - база в $X$, $\[f:X \to Y\]$ - такое отображение, что $\[\forall {B_Y} \in {\mathfrak{B}_Y}\exists {B_X} \in {\mathfrak{B}_X}\left( {f\left( {{B_X}} \right) \subset {B_Y}} \right)\] $, тогда

$$\[\mathop {\lim }\limits_{{\mathfrak{B}_X}} \left( {g \circ f} \right)(x) = \mathop {\lim }\limits_{{\mathfrak{B}_Y}} \left( g \right)(y)\]$$

Известно, что если $\[g(y) = \left| {\operatorname{sgn} y} \right|\]$, то если $\[{{\mathfrak{B}_Y}}\]$ - база $\[{y \to 0}\]$, то $\[\mathop {\lim }\limits_{{\mathfrak{B}_Y}} \left( g \right)(y) = 1\]$.
Положим теперь $\[{{\mathfrak{B}_X}}\] $ - база $\[{x \to 0}\]$. Положим функцию $\[f:X \to Y\]$, заданную соответствием $\[x \mapsto x\sin \frac{1}{x}\] $. Из критерия Коши для функций можно получить, что $\[\neg \exists \mathop {\lim }\limits_{{\mathfrak{B}_X}} \left( {g \circ f} \right)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\operatorname{sgn} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)} \right|\]$, однако у меня выходит так, что условия теоремы о композиции соблюдены, поэтому получается, что $\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {\operatorname{sgn} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)} \right| = 1\]$, хотя такого не может быть. Доказываю я это так:
Пусть $\[{B_Y} = \left\{ {y \in \mathbb{R}\left| {\alpha < y < \beta ,y \ne \left. {0,\alpha < 0,0 < \beta } \right\}} \right.} \right.\]$ -произвольный элемент базы $\mathfrak{B}_Y$. Заметим, что если $\[{B_X} = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| {\alpha ' < x < \beta ',x \ne \left. {0,\alpha ' < 0,0 < \beta '} \right\}} \right.} \right.\]$, некоторый элемент базы $\[{{\mathfrak{B}_X}}\]$, то так как на $\[x \in \left( {\alpha ',\beta '} \right)\]$ выполнено $\[\left| {x\sin \frac{1}{x}} \right| \leqslant \left| x \right|\left| {\sin \frac{1}{x}} \right| \leqslant \left| x \right| \[ \leqslant \] \max (\left| {\alpha '} \right|;\beta ') = M\]$, то тогда подбирая $\[{\alpha ',\beta '}\]$ так, чтобы $\[M \leqslant \min (\left| \alpha \right|;\beta )\]$ добьемся того, чтобы $\[f({B_X}) \subset \left[ { - M,M} \right] \subset {B_Y}\]$, то есть условие теоремы выполнено. Где я неправ?

[mihaild]

Rusit8800 в сообщении #1419477 писал(а):

$\[f({B_X}) \subset \left[ { - M,M} \right] \subset {B_Y}\]$

Последний переход неверен: $0 \in [-M, M]$, но $0 \notin B_Y$.

[Rusit8800]

Понял, в чем дело - $\[\forall {B_X}\left( {0 \in f({B_X})} \right)\]$, но $\[\forall {B_Y}\left( {0 \notin {B_Y}} \right)\]$ ,поэтому включение в принципе невозможно для любых элементов баз, а значит условие теоремы о композиции не выполнено. Спасибо, что направили на путь истинный