Нумерация алгебраических чисел. Почему именно так? Виленкин

[ForQuestion$]

Не понимаю, почему нельзя пронумеровать все алгебраические числа способом, очень похожим на способ Виленкина, только со степенями "наоборот" в формуле.
Виленкин предлагает пронумеровать все алгебраические числа, (чтобы доказать счетность этого множества), (числа вида $\sqrt{3}-1$ или там $\sqrt[4]{3-\sqrt{5}}$)
следующим способом, (извиняюсь за такую огромную цитату из книги):

Цитата:

..отметим сначала, что каждое число рассматриваемого вида является корнем алгебраического уравнения вида
$a_0x^n+a_1x^{n-1} +... + a^n=0$, (1)
где $a_0\neq0$ и $a_0, ..., a_n$ — целые числа. Например, $\frac{3}{7}$
корень уравнения $7x-3=0$,
$\sqrt{3}\cdot5$корень уравнения $x^3-5 =0$. Иногда бывает очень трудно
написать уравнение, которому удовлетворяло бы число описанного выше вида, но тем не менее это всегда возможно.
Сначала перенумеруем все целые числа //"способом квадрата", т. е. в порядке 0, 1, -1, 2 и так далее
Номер целого числа $a$ обозначим
через $\boldsymbol{a}$ [такая же буква в формуле, только жирная]. Каждому уравнению вида (1) поставим в соответствие число $2^{\boldsymbol{a_n}}\cdot3^{\boldsymbol{a_{n-1}}}...p_{n+1}^\boldsymbol{a_0}$[степени жирненькие]
(через $p_{n+1}$ здесь обозначено $(n + 1)$-е простое число). Например,
уравнению $3x^2-2 = 0$ ставим в соответствие номер $2^4\cdot3^1\cdot5^5=150 000$
(потому что целое число $-2$ имеет номер 4, $0$— номер 1, а целое число $3$ — номер 5). Теперь каждое уравнение получило свой номер,
причем разным уравнениям соответствуют разные номера (каждый
номер N единственным образом разлагается на простые множители,
то есть единственным образом задает числа $\boldsymbol{a_n, a_{n-1},..., a_0}$; этим же
числам соответствуют определенные целые числа $a_n, a_{n-1}, ..., a_0$,
а тем самым и определенное уравнение $a_0x^n+a_1x^{n-1} +... + a^n=0$)

-- 04.10.2019, 23:49 --

Не понимаю, почему нельзя сделать всё то же самое, только последняя формула будет такая:
Короче, возвести каждое простое число начиная с двойки в степень номеров целых чисел, соответствующих коэффициентам $a_0, a_1$ и так далее до $a_n$, а не как Виленкин, начавший с возведения двойки в степень номера для $a_n$, потом тройку возвел в номер для $n-1$ и так далее.
И поставить это число в соответствие каждому алгебраическому числу. Они же тоже будут уникальны и получится нумерация, разве нет?

[vpb]

ForQuestion$ в сообщении #1419212 писал(а):

И поставить это число в соответствие каждому алгебраическому числу. Они же тоже будут уникальны и получится нумерация, разве нет?

Да, верно. И этот способ, имхо, даже красивше, чем у Виленкина.

[ForQuestion$]

vpb в сообщении #1419220 писал(а):

ForQuestion$ в сообщении #1419212 писал(а):

И поставить это число в соответствие каждому алгебраическому числу. Они же тоже будут уникальны и получится нумерация, разве нет?

Да, верно. И этот способ, имхо, даже красивше, чем у Виленкина.

Ого. Я ещё и не ошиблась и правильно все поняла. Спасибо =)

[vpb]

На здоровье.

[Shadow]

Извините, что вмешиваюсь, не здесь я вижу нумерация полиномов, а не чисел.
И что дальше?

[alcoholist]

Shadow
Доказывается счетность множества алгебраических чисел через счетность множества полиномов.

[Shadow]

alcoholist в сообщении #1419245 писал(а):

Доказывается счетность множества алгебраических чисел через счетность множества полиномов.

это я понял, но в заголовке и в первом изречении другое написано. Интересно стало, можно ли построить биекцию..не теоретически, а конкретно.

[ewert]

Всё это выглядит несколько бессмысленным. Во-первых, для самих чисел явной формулы всё равно не получится. Во-вторых, и для уравнений (с дальнейшим прицелом на числа) эту последовательность придётся прореживать, т.к. среди уравнений бывают и сократимые. В-третьих, как-то странно называть уравнениями выражения вида $a_0=0$ (т.е. все номера, равные степеням двойки, тоже придётся выкинуть).

И это при том, что счётность алгебраических чисел сразу же следует из такого принципиального факта, как не более чем счётность любого счётного объединения не более чем счётных множеств.

[g______d]

Какую-то биекцию между числами и многочленами можно построить. Назовём унитарным многочлен с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице. Тогда есть биекция между унитарными многочленами, неприводимыми над $\mathbb Q$, и классами эквивалентности алгебраических чисел. Два алгебраических числа называются эквивалентными (сопряжёнными), если у них один и тот же минимальный многочлен (предполагается, что он тоже унитарен и его коэффициенты рациональны). В классе эквивалентности, соответствующем многочлену степени $n$, ровно $n$ алгебраических чисел, в определённом смысле неотличимых друг от друга.

[Munin]

ForQuestion$ в сообщении #1419212 писал(а):

Не понимаю, почему нельзя пронумеровать все алгебраические числа способом, очень похожим на способ Виленкина, только со степенями "наоборот" в формуле.

А какая разница?

[mihaild]

vpb в сообщении #1419220 писал(а):

И этот способ, имхо, даже красивше, чем у Виленкина.

ИМХО способ у Виленкина немного красивее - если оставить степени целыми, то это будет изоморфизм между $(\mathbb{Q}, \cdot)$ по умножению и $(\mathbb{Z}[x], +)$.

[arseniiv]

Хотел написать, что естественная нумерация натуральными есть только у натуральных, но потом подумал, что ведь всякие $n\mapsto mn+k$ для множеств значений натуральночисленных арифметических прогрессий тоже выглядит натуральненько, да и нумерация целых $0, 1, -1, 2, -2,\ldots$ кажется лучше всех остальных (предпочитать положительные числа, «быть сбалансированной»). И теперь я не уверен, можно ли придать естественности нумерации объективный смысл, ну хотя бы лишь пару возможных определений вместо потенциальных тысяч.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1419320 писал(а):

И теперь я не уверен, можно ли придать естественности нумерации объективный смысл

Вавилов сказал: "естественный изоморфизм - это тот, который не зависит от выбора базиса" (но точную цитату не укажу). Полагаю, и с группами (и с полугруппами) то же, если заменить базис на образующие.

[arseniiv]

Ну тут-то у нас и полугрупп может не быть, ведь счётность — это свойство голых множеств.

[Munin]

Натуральные, кажется, полугруппа. Ладно, что смог, то сказал.