Линейные операторы

[pandemodeus]

Добрый день.
Есть следующая задача:
Выяснить, какие из следующих преобразований пространства многочленов $M_n$ являются линейными преобразованиями.
Вопрос в двух примерах:
а) $\mathcal{A}(f(t))=tf(t)$
б) $\mathcal{A}(f(t))=f(t^2)$
Я проверяю отображения согласно определению линейного оператора, т.е проверяю корректность равенств $\mathcal{A}(f(t)+g(t))=\mathcal{A}(f(t))+\mathcal{A}(g(t))$ и $\mathcal{A}(\alpha f(t))=\alpha\mathcal{A}(f(t))$.
У меня получаются линейные отображения пространства $M_n$ в пространства $M_{n+1}$ и $M_{2n}$ для примеров a) и б) соответственно, а в ответах сказано, что данные отображения линейными не являются. В чем я ошибаюсь?

[Otta]

Линейные преобразования - это линейные отображения из пространства в себя.

[pandemodeus]

Otta в сообщении #1418817 писал(а):

Линейные преобразования - это линейные отображения из пространства в себя.

Странно, в моем учебнике, по всей видимости, другая терминология.
Если $\mathcal{A}:V \to V$ и $\mathcal{A}$ удовлетворяет свойствам линейности, то такое отображение называется линейным преобразованием пространства V в себя.
А если $\mathcal{A}:V \to W$ и $\mathcal{A}$ удовлетворяет свойствам линейности, то такое преобразование называется линейным преобразованием пространства V в пространство W.

[Otta]

Да, но.
Читайте внимательно свой текст.

pandemodeus в сообщении #1418816 писал(а):

преобразований пространства многочленов $M_n$

Вам на первое определение смотреть или на второе?

[pandemodeus]

Otta в сообщении #1418822 писал(а):

Да, но.
Читайте внимательно свой текст.

pandemodeus в сообщении #1418816 писал(а):

преобразований пространства многочленов $M_n$

Вам на первое определение смотреть или на второе?

Ну в общем, понятно. Мне кажется, что сама постановка задачи не совсем корректно поставлена. Если говорить о линейных преобразованиях пространства $M_n$ в себя, то указанные отображения линейными не являются, а если о линейных преобразованиях пространства $M_n$ в линейные пространства, то являются.

[Otta]

pandemodeus
Чтобы говорить о свойствах преобразования, должно быть задано, откуда куда оно действует и по какому закону.
У Вас все задано. Свое пространство на ходу Вы придумывать в рамках этой задачи не можете.
Поэтому здесь ответ -- нет, поскольку это не преобразование пространства $M_n$.

Вы же решаете другую задачу. Существует ли пространство, и какое, чтобы действуя из $M_n$ в него, отображение было линейным.

[mihaild]

Если считать что "преобразование пространства $X$" - это "преобразование пространства $X$ в себя", то задача вообще некорректна - она имеет вид "для каких из следующих четных чисел: 3, 5, 7 - что-то выполнено?".

[Otta]

Само собой. Но я, например, вовсе не уверена в точности переписывания формулировки из задачника.

[Munin]

В то же время, есть пространство многочленов произвольных степеней, и уже для него это будут хотя бы отображения пространства в себя. И можно дальше смотреть, линейны ли они.