Сила притяжения магнита к соленоиду. Понимание работы BLDC

[stakhanov]

Доброго времени суток.

Помогите, пожалуйста, разобраться. Моя специальность теория управления. Я решил разобраться, как работают BLDC приводы. Т.к. у меня математическое мышление, то единственный способ понять предмет - это перевести его на язык формул и уравнений. Но, к сожалению, во всей литературе есть только готовые формулы для готовых конструкций, а их вывода нет, и ссылок, где найти тот самый вывод, тоже. Тем более, если хочется рассчитать какую-то нестандартную конструкцию, то автоматически попадаешь в тупик.

Для понимания принципов работы я сформулировал упрощённую задачу.
Пусть мы имеем неодимовый магнит M формы куба со стороной x и остаточной магнитной индукцией L, а также соленоид с сечением в форме круга радиуса R, на который намотано k витков, по которым протекает ток силы I. Магнит находится на удалении от соленоида но не по центру оси, а ещё и сбоку. Т.е. имеем две переменных: l - проекция радиус-вектора центра магнита, проведённого из точки пересечения торца соленоида и его оси симметрии на ось симметрии, m - проекция на плоскость торца.
Необходимо найти силу, действующую на магнит со стороны магнитного поля, создаваемого соленоидом как по направлению, так и по модулю.

В литературе я нашёл только решение задачи в случае когда центр магнита находится строго на оси симметрии соленоида, но там вывод делался через энергии и как его перенести на такую задачу я не смог придумать.

Насколько я понимаю, магнит обычно заменяют эквивалентным контуром с током, но в какой точке брать значение поля и как его найти? Ведь при движении вбок магнитное поле сильно ослабевает и можно ли пренебрегать его изменениями в пространстве, занятым магнитом? Габаритами и формой магнита?

Чтобы приблизиться к реальному двигателю можно внести усложнение в задачу: соленоид имеет сечение прямоугольника и в конце расширяется. Т.е. появляется "зуб".
Тут мне уже совсем тяжко, т.к. я не понимаю, как рассчитать поле в произвольной точке в случае, когда сердечник имеет нетривиальную форму.




Буду очень благодарен ссылкам на литературу, где можно найти ответы.

Спасибо.

[Ilya86]

Решение той задачи, что вы привели, в аналитическом виде скорее всего будет очень-очень сложным. Напряженность снаружи соленоида в любой точке - это еще полдела (хотя и это чрезвычайно сложно, и я не уверен, что это вообще кто-то решал), настоящие проблемы вылезут, когда движущийся магнит будет создавать в катушке противоЭДС, которым в двигателе пренебрегать никак нельзя. Боюсь представить, как это все будет выглядеть. И даже если каким-то невероятным образом это удастся решить, к пониманию работы BLDC вряд ли приведет из-за сложности итоговых уравнений.

Я бы рассмотрел двигатель как магнитную цепь, вывел бы из нее значения напряженности магнитного поля статора и магнитного потока в роторе (зависящие от его положения и скорости), откуда легко считается момент сил, действующий на ротор. Решение будет очень приближенным, но его вполне можно будет использовать, особенно если померить реальные характеристики расчетного двигателя и внести на глаз в аналитическое решение какие-нибудь поправочные коэффициенты или нелинейные множители. Приближенность решения обуславливается допущениями, принимаемыми теорией магнитных цепей. Если вы с ней не знакомы (или подзабыли), я попробую вкратце про нее написать под оффтопом (хоть и тоже последний раз пользовался ей лет 15 назад).

(Оффтоп)

В магнитной цепи рассматривается "течение" магнитного потока по магнитопроводам и воздушным зазорам между ними. Проводятся аналогии с течением электрического тока в проводниках, строится электрическая схема замещения магнитной системы, затем она рассчитывается как электрическая схема, и таким образом находятся магнитные потоки на всех участках. При этом считается, что (все формулы в системе СИ):

1. Магнитопровод не намагничивается, напряженность магнитного поля в нем линейно зависит от магнитной индукции ($H = B / (\mu \mu_0) $) - именно это допущение вносит максимальную неточность в расчеты, в реальных ферромагнитных магнитопроводах зависимость напряженности от индукции нелинейна и с гистерезисом, но можно пробовать подгонять результирующие уравнения под реальные измерения. Наверно, есть более разумные способы учесть нелинейность ферромагнетиков, но я, к сожалению, про них ничего не знаю. Стоит спросить у кого-то, кто занимается расчетом, скажем, трансформаторов.

2. На участках магнитопровода постоянного поперечного сечения поле однородно и полностью заключено внутри магнитопровода - такое распространение поля похоже на течение электрического тока в проводнике, а здесь аналогом тока является магнитный поток ($\Phi = B S$, где B - магнитная индукция, S - поперечное сечение магнитопровода), который "течет" по магнитопроводу.

3. В воздушных зазорах между магнитопроводами на пути "течения" потока поле также однородно и не выходит за пределы, ограниченные минимальным поперечным сечением магнитопроводов по соседству (понятно будет на картинке ниже) - при достаточно малых зазорах это допущение не приводит к особым неточностям.

Определения:

1. Магнитодвижущая сила (МДС) - аналог ЭДС из электрических цепей - величина, характеризующая намотанную вокруг магнитопровода катушку с током, создающую магнитный поток (как ЭДС характеризует "батарейку", создающую ток). Равна $\mathcal{F} = I n$, где I - ток в катушке, n - число витков. Направление МДС соответствует направлению создаваемого потока и определяется по правилу буравчика.

2. Магнитное сопротивление - аналог электрического сопротивления - величина, характеризующая "препятствие" магнитопровода к "течению" магнитного потока. Равна $R = l / (\mu \mu_0 S)$, где l - длина магнитопровода, S - площадь его поперечного сечения, $\mu$ - магнитная проницаемость материала магнитопровода, $\mu_0$ - магнитная постоянная. Для воздушных зазоров $R = l / (\mu_0 S)$. Сопротивления последовательно соединенных магнитопроводов складываются.
Тут еще важно понимать, что в отличие от электрических цепей "протекание" постоянного потока по магнитного сопротивлению не вызывает никаких энергетических потерь, то есть аналогия чисто математическая.

3. Магнитное напряжение - аналог электрического напряжения - "разность потенциалов" магнитного поля на какой-то длине магнитопровода (или воздушного зазора). Отдельной буквой не обозначается, равна $H l$, где H - напряженность магнитного поля, l - длина участка магнитопровода (или зазора), на котором определяется напряжение.

Первый закон Кирхгофа - сумма потоков, втекающих в узел, равна сумме потоков, вытекающих из узла.

Второй закон Кирхгофа - сумма МДС в контуре равна сумме магнитных напряжений в нем.

Закон Ома для участка цепи - $\Phi = \Sigma (H l) / \Sigma R = \Sigma \mathcal{F} / \Sigma R$

В принципе, в интернете много информации по магнитным цепям. Алгоритм их построения и расчета такой:
1. Разбиваете весь магнитопровод на участки, для которых можно выделить длину и среднюю площадь. Выделяете воздушные зазоры.
2. Считаете для каждого участка и зазора магнитные сопротивления.
3. Считаете все МДС.
4. Добавляете МДС и сопротивления на схему, соединяя их так, как соответствующие объекты стыкуются в реальности.
5. Рассчитываете магнитные потоки и напряжения как для электрической схемы, используя закон Ома и законы Кирхгофа.

Постоянный магнит можно рассматривать как "источник магнитного потока" по аналогии с источником тока в электрической цепи.

В вашем случае магнитная цепь будет с переменным воздушным зазором, поскольку ротор вращается относительно статора. Длина зазора будет постоянной, а меняться будет площадь. Соответственно, будет меняться и магнитное сопротивление - его надо выразить в виде функции от угла положения ротора.

Из-за переменного сопротивления будет меняться и магнитный поток. По закону электромагнитной индукции в катушках будет возникать ЭДС, препятствующая этому изменению. Это тоже обязательно надо учесть в системе уравнений, иначе магнитный поток получится завышенным.

В итоге из расчета этой схемы нужно вывести выражение для магнитного потока через ротор и напряженность поля статора. Тогда момент магнитных сил, действующий на ротор, будет равен $M = \Phi H d \cos \alpha$, где d - диаметр ротора, \alpha$ - угол между вектором напряженности поля статора и вектором индукции поля в роторе (нарисовал бы картинку, но как-то прилично подустал, пока это все писал). Этот момент будет связан с угловым ускорением через третий закон Ньютона ($M - M_n = J \dot{\omega}$, где $M_n$ - момент нагрузки, J - момент инерции ротора, $\dot{\omega}$ - угловое ускорение). В результате получится система линейных дифференциальных уравнений, которая вроде должна решаться.

Если что-то непонятно и есть какие-то вопросы - постараюсь ответить. Удачи в расчете.

[Emergency]

Задача понятна, но она не имеет отношения к электродвигателю у которого магнит расположен на осях катушек.