2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 склейка непрерывных функций
Сообщение29.09.2019, 20:57 
Аватара пользователя
Прошу проверить доказательство.

Теорема. Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства. Пусть $I$ — множество. Пусть $\bar{X}: I\to \mathcal{P}(X)$ такое, что
  • $\bigcup_{i\in I} \bar{X}(i) \supseteq X$
  • и каждая $x\in X$ принадлежит $\bigcap_{i\in J} \bar{X}(i)$ и является внутренней точкой $\bigcup_{i\in J} \bar{X}(i)$ для некоторого конечного $J\subseteq I$.
Пусть $f: X\to Y$ такая, что для каждого $i\in I$ сужение $f\restriction \bar{X}(i)$ непрерывно из топологии подпространства. Тогда $f$ непрерывна.

Доказательство. Пусть $x\in X$. Тогда существует такое конечное $J\subseteq I$, что $x\in \bigcap_{i\in J} \bar{X}(i)$ и $x$ является внутренней точкой $\bigcup_{i\in J} \bar{X}(i)$. Пусть $V$ — окрестность $f(x)$. Положим $\bar{U}(i) = (f\restriction \bar{X}(i))^{-1}[V]$ для $i\in J$. Тогда
$$f^{-1}[V] \supseteq \bigcup_{i\in J} \bar{U}(i).$$ Для каждого $i\in J$, так как $x\in \bar{X}(i)$ и $f\restriction \bar{X}(i)$ непрерывна, $\bar{U}(i)$ — окрестность $x$ в топологии подпространства на $\bar{X}(i)$. Поэтому существует такая $\bar{U}': J\to \mathcal{P}X$, что для всех $i\in J$ выполняется $\bar{U}(i) = \bar{U}'(i)\cap \bar{X}(i)$ и $\bar{U}'(i)$ — окрестность $x$ в $X$. Определим $U' := \bigcap_{i\in J} \bar{U}'(i)$, которое будет окрестностью $x$ в $X$. Получим
$$\bigcup_{i\in J} \bar{U}(i) = \bigcup_{i\in J} \bar{U}'(i)\cap \bar{X}(i) \supseteq \bigcup_{i\in J} U'\cap \bar{X}(i) = U'\cap \bigcup_{i\in J} \bar{X}(i),$$ и самое правое выражение — окрестность $x$ в $X$. Доказано.

В интернете я нашёл только теоремы, где все $\bar{X}(i)$ открытые или все они замкнутые.

 
 
 
 Re: склейка непрерывных функций
Сообщение30.09.2019, 17:30 
Аватара пользователя
beroal, вроде бы верно.

 
 
 
 Re: склейка непрерывных функций
Сообщение30.09.2019, 22:32 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1418350 писал(а):
beroal, вроде бы верно.

спасибо

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group