Метризуемое, но не нормированное пространство

[Kristobal Hunta]

Помогите, пожалуйста, привести пример метризуемого, но не нормируемого пространства.

[Echo-Off]

Пространство из двух элементов. Оно не может быть линейным (так как в линейном пространстве либо 1 элемент, либо бесконечно много), а значит, и нормированным.

[Kristobal Hunta]

Спасибо. А для линейных пространств можно ли построить такой пример?

[AD]

То есть еще раз давайте. Речь идёт о линейном топологическом пространстве, топологию которого можно задать метрикой, но нельзя задать нормой?

[Echo-Off]

Прямая с дискретной метрикой (между одинаковыми элементами расстояние 0, между разными - 1). Она не может быть нормированным пространством, так как норма должна принимать все неотрицательные значения.

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

Пространство из двух элементов. Оно не может быть линейным (так как в линейном пространстве либо 1 элемент, либо бесконечно много), а значит, и нормированным.

А что нам мешает рассматривать пространство над двухэлементным полем?

Я боюсь, что автору нужен пример топологического векторного пространства над $\mathbb{R}$ или над $\mathbb{C}$, у которого топология согласована со структурой (то есть фильтр окрестностей любой точки получается сдвигом фильтра окрестностей нуля и произведение фильтра окресностей нуля на произвольное положиттельное число даёт сам этот фильтр).

[AD]

Короче, вот вам мегапример, подходящий, видимо, по всем критериям.

Пространство всех измеримых функций на отрезке $[0,1]$, рассматриваемых с точностью до изменения на множестве меры нуль. На нём метрика:

$$\rho(x,y)=\int_0^1\!\frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|}\,dt$$

Упражнения.
1. Проверить, что это действительно метрика, и линейные операции относительно неё непрерывны.
2. Проверить, что сходимость последовательности измеримых функций в этой метрике равносильна сходимости по мере.
3. Проверить, что на этом пространстве нет ни одного ненулевого линейного непрерывного функционала.

Из упражнения 3 будет следовать ненормируемость указанной топологии (в силу теоремы Хана-Банаха на каждом ненулевом нормированном пространстве существует хотя бы один ненулевой линейный непрерывный функционал).

Упражнение 2, возможно, поможет при выполнении упражнения 3.

[Someone]

Произведение счётного числа прямых $\mathbb R^{\aleph_0}=\prod\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb R_n$ с тихоновской топологией: базу топологии образуют множества вида $\prod\limits_{n=1}^{\infty}U_n$, где все $U_n$ - интервалы на числовой прямой, причём, только конечное число из них не совпадает со всей числовой прямой.
Непрерывность операций сложения векторов и умножения вектора на число здесь, по-моему, достаточно очевидна, метризуемость следует из существования счётной базы (при построении базы можно ограничиться интервалами с рациональными концами), а с ненормируемостью нужно немножко повозиться, но тоже ничего страшного.
Фактически это пространство есть пространство всевозможных последовательностей действительных чисел с топологией покоординатной сходимости.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

...метризуемость следует из существования счётной базы (при построении базы можно ограничиться интервалами с рациональными концами)...

Фактически это пространство есть пространство всевозможных последовательностей действительных чисел с топологией покоординатной сходимости.

Мне с метризуемостью всё же не до конца понятно.

Можно ли задать какую-нибудь метрику (согласованную, естественно, с заявленной топологией) в явном виде? И чему в этой метрике будет равно расстояние между последовательностями $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ и $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, где $x_n =0$ и $y_n = n$ для любого $n \in \mathbb{N}$?

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Можно ли задать какую-нибудь метрику (согласованную, естественно, с заявленной топологией) в явном виде?

Зададим метрику на прямой $\mathbb R$ формулой

$$\rho(x,y)=\begin{cases}|x-y|\text{, если }|x-y|<1\text{,}\\ 1\text{, если }|x-y|\geqslant 1\text{.}\end{cases}$$

Тогда расстояние между последовательностями $\bar x=\{x_n:n\in\mathbb N\}$ и $\bar y=\{y_n:n\in\mathbb N\}$ можно задать формулой

$$d(\bar x,\bar y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\rho(x_n,y_n)}{2^n}\text{.}$$

[Kristobal Hunta]

Спасибо всем участникам обсуждения. Думаю дальше разберусь.

[Henrylee]

Еще известный пример - пространство $l_p$ абсолютно суммируемых со степенью $0<p<1$ последовательностей.

$$ d(x,y)=\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n-y_n|^p $$

[AD]

А, ну то есть берем любое топологическое векторное пространство, не являющееся локально-выпуклым

[Henrylee]

AD писал(а):

А, ну то есть берем любое топологическое векторное пространство, не являющееся локально-выпуклым

Злопямятный?

[AD]

Эээ кого позвать?