Задача Льюиса Кэрола

[Профессор Снэйп]

В урне лежит шар, либо белый, либо чёрный с равной вероятностью (одна вторая). Человек подходит и кидает в эту урну один шар белого цвета. Потом запускает руку в урну и случайно выбирает оттуда шар. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что единственный оставшийся в урне шар тоже будет белым?

[juna]

2/3.

[Профессор Снэйп]

juna писал(а):

2/3.

Да, ответ такой. Вот только как это по нормальному объяснить?

[PAV]

Посчитать по формуле Байеса.

Добавлено спустя 28 секунд:

Что тут дискуссионного?

Добавлено спустя 8 минут 24 секунды:

Можно объяснить "на пальцах". Пусть проводится много экспериментов ($N$). В среднем: в $N/2$ перед извлечением в урне было два белых шара (ситуация I) и при этом всегда извлекается белый шар; в оставшихся $N/2$ случаев в урне были шары двух цветов (ситуация II) и из них в половине случаев ($N/4$) извлечен белый шар, а в оставшейся половине - черный. Итого: белый шар извлекается в среднем в $3N/4$ случаев, причем из них $N/2$ - ситуация I, а $N/4$ - ситуация II. Таким образом и получается, что условная вероятность ситуации I равна $2/3$.

[Профессор Снэйп]

PAV писал(а):

Что тут дискуссионного?

Дискуссионного мало. Ровно столько же, сколько в задаче Литтлвуда, в которой пихают шары по 10 штук в ящик и смотрят, сколько их осталось в полдень.

Ну а куда её? Для олимпиадных слабовата. Для "помогите решить/разобраться"?.. Мне-то не надо помогать, я её решать умею. Остаётся только в дискуссионные.

И всё-таки: как объяснить ответ на пальцах, без формулы Байеса? Мне кто-то советовал рассматривать пару урн, в одной белый шар, в другой чёрный. В каждую докладывем по белому шару, потом один белый убираем. Остаётся (в обоих урнах) два белых и один чёрный, отсюда ответ $2/3$.

Но что-то мне это объяснение кажется притянутым за уши. При чём здесь две урны, у нас ведь по условию урна всего одна?!

Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд:

PAV писал(а):

Можно объяснить "на пальцах". Пусть проводится много экспериментов ($N$). В среднем: в $N/2$ перед извлечением в урне было два белых шара (ситуация I) и при этом всегда извлекается белый шар; в оставшихся $N/2$ случаев в урне были шары двух цветов (ситуация II) и из них в половине случаев ($N/4$) извлечен белый шар, а в оставшейся половине - черный. Итого: белый шар извлекается в среднем в $3N/4$ случаев, причем из них $N/2$ - ситуация I, а $N/4$ - ситуация II. Таким образом и получается, что условная вероятность ситуации I равна $2/3$.

Угу, это уже более понятно. А как Вы думаете, предыдущее объяснение годится для школьников или нет?

[PAV]

Объяснение на пальцах я привел. А тема все-таки уровня раздела "Помогите решить/разобраться". Будем считать, что разбирается с тем, как объяснить ответ на пальцах.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

А как Вы думаете, предыдущее объяснение годится для школьников или нет?

Я думаю, что мое объяснение годится для школьников. Оно помогает осознать собственно суть понятия вероятности (а также - условной вероятности) как частоты, с которой событие реализуется при большом числе испытаний.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Если будете школьникам так рассказывать - отпишите, пожалуйста, как они это осознали.

[Зангези]

К слову сказать, эта задача из той же серии, что и "Monty Hall problem".

[Zo]

В книге Секкея про "парадоксы" тервера задача Льюиса Кэрола в другом, более забавном, как мне кажется, виде изложена. Пусть есть шары красного и белого цвета. И пусть в мешке лежат два неизвестно каких шара. Вопрос: какого они могут быть цвета? Ответ Льюиса Кэрола: в мешке могут лежать только красный и белый шар. Объяснение: если в мешке лежат два белых шара и один красный, то вероятность вытащить белый - $\frac{2}{3}$. Пусть теперь в мешке лежат два неизвестно каких шара. Положим туда белый. Тогда вероятность вытащить белый будет $\frac{2}{3}$. Значит в мешке лежат два белых и один красный шар. Значит до того как мы положили в мешок белый шар, там могли находится только красный и белый шар

[PAV]

Да, этот парадокс действительно более забавный.

[TOTAL]

Zo писал(а):

Значит в мешке лежат два белых и один красный шар.
Значит до того как мы положили в мешок белый шар, там могли находится только красный и белый шар

Значит в мешке в среднем лежат два белых и один красный шар (что правильно).
Значит до того как мы положили в мешок белый шар, там в среднем находились красный и белый шар (и это правильно).
Вывод: Льюис Кэрол - честный человек, Литллвуд - жуликоватый.

[Azog]

Для разбора на пальцах я бы просто перебрал варианты..

[juna]

Предлагаю все-таки раздвоить у "Кэрола" буквы "р" и "л".