сеть во вполне ограниченном равномерном пространстве

[beroal]

Не могу понять шаг в доказательстве.

Цитата:

Лемма 39.8. $X$ вполне ограниченно тогда и только тогда, когда любая сеть в $X$ имеет подсеть Коши.
Доказательство. Пусть $\{x_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ — сеть во вполне ограниченном пространстве $X$. Для любого $D\in \mathscr{D}$ существует такое множество $U_D\subseteq X$, что $U_D\times U_D \subseteq D$ и $\{x_\lambda\}_{\lambda}$ часто бывает в $U_D$. Пусть $\Gamma = \{(\lambda, D)\mid D\in \mathscr{D}\land x_\lambda \in U_D\}$ с направлением $(\lambda_1, D_1)\leq (\lambda_2, D_2)$ тогда и только тогда, когда $\lambda_1\leq \lambda_2$ и $U_{D_1}\supseteq U_{D_2}$.

Так вот, почему у любых $(\lambda_1, D_1), (\lambda_2, D_2)\in \Gamma$ существует верхняя грань? Я нахожу такое $\lambda_3$, что $\lambda_1\leq \lambda_3$ и $\lambda_2\leq \lambda_3$, нахожу такое $D_3$, что $D_1\supseteq D_3$ и $D_2\supseteq D_3$, нахожу $\lambda_4$ такое, что $\lambda_3\leq \lambda_4$ и $\lambda_4\in U_{D_3}$. Дальше что? По-моему, $U_{D_1}$, $U_{D_2}$ и $U_{D_3}$ могут даже не пересекаться.

Обозначения: $\mathscr{D}$ — это диагональная равномерность на $X$.