представимость простых чисел квадратичными формами

[maxal]

Докажите, что простое число, отличное от 5, представимо в виде $x^2 + 5y^2$ тогда и только тогда, когда оно представимо в виде $x^2 + 25y^2$ (для некоторых целых $x, y$).

[TOTAL]

maxal писал(а):

Докажите, что целое число, не делящееся на 5, представимо в виде $x^2 + 5y^2$ тогда и только тогда, когда оно представимо в виде $x^2 + 25y^2$ (для некоторых целых $x, y$).

$6=1^2 + 5*1^2= ?$

[maxal]

Исправил условие. Речь идет о представимости простых чисел.

[RIP]

Оба условия эквивалентны условию $p\equiv1,9\pmod{20}$.

[maxal]

RIP, а доказать?

[Kid Kool]

maxal писал(а):

Докажите, что простое число, отличное от 5, представимо в виде $x^2 + 5y^2$ тогда и только тогда, когда оно представимо в виде $x^2 + 25y^2$ (для некоторых целых $x, y$).

Задача очевидным образом следует из замечания, что если (-N), где N < p - квадратичный вычет по модулю p, то p представимо в виде $x^2 + Ny^2$.

[maxal]

Kid Kool писал(а):

maxal писал(а):

Докажите, что простое число, отличное от 5, представимо в виде $x^2 + 5y^2$ тогда и только тогда, когда оно представимо в виде $x^2 + 25y^2$ (для некоторых целых $x, y$).

Задача очевидным образом следует из замечания, что если (-N), где N < p - квадратичный вычет по модулю p, то p представимо в виде $x^2 + Ny^2$.

Как именно? Прошу продемонстрировать...

Замечу, что утверждение становится неверным, если 5 и 25 заменить, например, на 7 и 49.

[RIP]

maxal писал(а):

RIP, а доказать?

По-школьному не умею, точнее, умею только для $x^2+25y^2$. Доказательство для $x^2+5y^2$ есть, например, в книжке Дирихле П.Г.Л. — Лекции по теории чисел (недавно её прочитал - очень понравилась).

[Руст]

Kid Kool писал(а):

Задача очевидным образом следует из замечания, что если (-N), где N < p - квадратичный вычет по модулю p, то p представимо в виде $x^2 + Ny^2$.

Это неверно. Смотрите любой учебник.
Задача простая. Если $p=x^2+5y^2$ то $p=1\mod 4\to p=z^2+t^2$ (последнее не очевидно, но доказательство имеется в любом учебнике, я даже однажды объяснял ее доказательство семикласснику), так как $p=\pm 1\mod 5$ в последним представлении z или t делится на 5.
Обратно, из $p=z^2+25t^2$ получаем $p=1,9\mod 20$. Представимость таких чисел в виде $p=x^2+5y^2$ можно получить из евклидовости кольца $n\frac{1+i\sqrt 5}{2}+m\frac{1-i\sqrt 5}{2}$.

[Sonic86]

Ух, ты, опоздал !
Я, в общем, как и RIP смотрел Дирихле, можно еще и Бухштаба Теория чисел.
Там написано, что $p$ представимо формой $ax^2+bxy+cz^2$ столькими способами, сколькими разрешимо сравнение $B^2=D(mod4p)$, где $D$ - дискриминант. С помощью этого получается $p=x^2+5y^2$ равносильно $p=1,3,7,9(mod20)$, а $p=x^2+25y^2$ равносильно $p=1,13,17,9(mod20)$. Дальше я еще не врубался , но лишние случаи исключаются рассмотрением сравнения по модулю 5. Они, видимо, образуют другой класс эквивалентных квадратичных форм.

[Kid Kool]

maxal писал(а):

Как именно? Прошу продемонстрировать...

Найдется t, для которого $t^2+N$ делится на p.

Рассмотрим множество $A = \{x+ty: |x|+|y|>0, 0 \leq x,y < \sqrt{p}\}$. В нем $([\sqrt{p}]+1)^2-1$ > $p-1$ элементов. Значит, среди остатков от деления на p найдется либо 0, либо 2 равноостаточных. В последнем случае разность (которая c точностью до знака y лежит в A) все равно даст нулевой остаток при делении на p. И в обоих случаях |x|+|y|>0.

Итак, пусть x+ty делится на p. Тогда $x^2-t^2y^2$ - тоже, а значит и $x^2+Ny^2$ делится на p, т.е. равно pk, где k < N. Дальше я хотел воспользоваться индукционным предположением для k, но когда написал здесь решение, понял что для этого нужно, чтоб N было меньше k, а не наоборот

[RIP]

Sonic86 писал(а):

Я, в общем, как и RIP смотрел Дирихле,...
Там написано, что $p$ представимо формой $ax^2+bxy+cz^2$ столькими способами, сколькими разрешимо сравнение $B^2=D(mod4p)$, где $D$ - дискриминант. С помощью этого получается $p=x^2+5y^2$ равносильно $p=1,3,7,9(mod20)$, а $p=x^2+25y^2$ равносильно $p=1,13,17,9(mod20)$. Дальше я еще не врубался , но лишние случаи исключаются рассмотрением сравнения по модулю 5. Они, видимо, образуют другой класс эквивалентных квадратичных форм.

Плохо смотрели. Посмотрите $\S71$ - это насчёт $x^2+5y^2$. А $x^2+25y^2$ сводится к $x^2+y^2$, как написал Руст.

Добавлено спустя 5 минут 1 секунду:

Руст писал(а):

...Представимость таких чисел в виде $p=x^2+5y^2$ можно получить из евклидовости кольца $n\frac{1+i\sqrt 5}{2}+m\frac{1-i\sqrt 5}{2}$.

А это разве кольцо?

[maxal]

Пусть $P(a,b,c)$ - это множество простых чисел, представимых формой $ax^2+bxy+cy^2$. Найдите все такие пары целых чисел $(k,m)$, что $P(1,k,1)=P(1,0,m).$