Задача по общей топологии и теории множеств

[Padawan]

Решаю задачу из Архангельский, Пономарев Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М.:Наука, 1974. На стр. 75 задача 131: Если хаусдорфово пространство $X$ с первой аксиомой счётности удовлетворяет условию Суслина, то $|X|\leqslant 2^{\aleph_0}$. Условие Суслина - любое семейство непустых попарно непересекающихся открытых множеств в $X$ не более, чем счётно. В книге есть решение, но в нем отсылка к следующей задаче (задача 122 на стр. 32, это раздел про теорию множеств):
Пусть на множестве $Y$ задано семейство $\mathscr E=\{\gamma_\alpha\mid\alpha\in A\}$ семейств $\gamma_\alpha$ подмножеств множества $Y$, причём выполняются условия:
1) если $\alpha',\alpha''\in A$ и $\alpha'\neq\alpha''$, то существуют $F^{\alpha'}\in\gamma_{\alpha'}$ и $F^{\alpha''}\in\gamma_{\alpha''}$ такие, что $F^{\alpha'}\cap F^{\alpha''}=\varnothing$;
2) каждое $\gamma_\alpha$ содержит пересечение любых двух своих элементов;
3) $|\gamma_\alpha|\leqslant\tau$, а $|A|>2^\tau$ для всех $\alpha\in A$ и некоторого кардинального числа $\tau$.
Тогда можно выбрать множество $A^*\subset A$ и для каждого $\alpha\in A^*$ множество $F^\alpha\in\gamma_\alpha$ так, чтобы выполнялись условия: 4) $|A^*|>\tau$, и 5) если $\alpha'\in A^*$ и $\alpha''\in A^*$, $\alpha'\neq\alpha''$, то $F^{\alpha'}\cap F^{\alpha''}=\varnothing$.

Понятно, что в исходной задаче надо в качестве $A$ взять топологическое пространство, а в качестве $\gamma_\alpha$ - счётное семейство окрестностей точки $\alpha\in A$, упорядоченное по убыванию. Но решение второй задачи тоже ссылается на предыдущие задачи, и я эту цепочку вложенных задач не осилил. В-общем, прошу помочь либо понять решение, либо может кто-то своим способом решит и наведет меня на мысль.