2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Любителю - теорема Громова и около
Сообщение15.09.2019, 16:05 
Аватара пользователя
Читал я на днях обзор по так называемой геометрической теории групп, поражался её обширности и красоте. Один из её ключевых результатов $-$ теорема Громова $-$ формулируется следующим образом:
Цитата:
Конечно-порожденная группа виртуально нильпотентна [то есть, имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса - мое добав.] тогда и только тогда, когда она $-$ полиномиального роста.

Я попробовал поразбирать доказательство теоремы, пройдясь по ссылкам на обзоре, и заметил, что оно задействует очень широкий спектр тем. Прежде всего, надо знать про фундаментальные группы (замкнутых) римановых многообразий, про топологию графа Кэли группы (которая как метрическое пространство квазиизометрична группе со "словесной" метрикой.), про группы Ли (правда, тут довольно "простой" нильпотентный случай), про асимптоптические конусы на гиперболических пространствах, про собственно группы полиномиального роста и т.д.
Спрашиваю, полагаясь на означенную широту вопроса, надеясь на то, что кто-то из форумчан пересекался или тесно знаком с деталями этих тем вокруг теоремы. Есть ли около всей этой истории сюжеты, которые мог бы осилить любитель, не погружаясь в кроличью нору многочисленных специальных теорий? Это могут быть сюжеты, даже и не приближающие к пониманию собственно теоремы Громова, но просто полезные и интересные в контексте геометрической теории групп, и не такие банальные, как, скажем, нильпотентные группы или азы римановых многообразий (которые входят в стандартные вузовские курсы алгебры и дифференциальной геометрии). Естественно ожидаются ссылки на статьи, разделы книг и прочие прелести.

 
 
 
 Re: Любителю - теорема Громова и около
Сообщение15.09.2019, 16:35 
SiberianSemion в сообщении #1415290 писал(а):
Есть ли около всей этой истории сюжеты, которые мог бы осилить любитель, не погружаясь в кроличью нору многочисленных специальных теорий?

Не знаю. Я не знаю, как доказывается "главная" часть этой теоремы (если группа --- полиномиального роста, то она виртуально нильпотентна), но знаю, как в легкую сторону (всякая виртуально нильпотентная --- полиномиального роста). Если для Вас нильпотентные группы --- банальность, то, может, Вы даже и сами сможете это доказать. Если не можете -- пишите, подскажу какую литературу (собственно, популярные учебники по теории групп: Холл, Каргаполов-Мерзляков, Ротман, задачник Белоногова) или что по существу.

 
 
 
 Re: Любителю - теорема Громова и около
Сообщение15.09.2019, 17:32 
Аватара пользователя
vpb, я подозревал, что теорема в "легкую" сторону обозрима. В скорейшем времени этим займусь, а пока у меня по местному времени 22:31, скоро спать)

 
 
 
 Re: Любителю - теорема Громова и около
Сообщение15.09.2019, 18:34 
Аватара пользователя
Возможно, вас заинтересует этот курс лекций:

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group