упражнения по inf и sup в учебнике Takeuti и Zaring

[beroal]

Есть вопросы по упражнениям на страницах 44 и 45 следующей книги.
Takeuti, Gaisi, and Wilson M. Zaring. Introduction to Axiomatic Set Theory. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1982. Print. Graduate Texts in Mathematics 1.

Цитата:

(3) $\operatorname{Tr}(A) \implies \bigcap(A)\subseteq A$.
(4) $a\in A \implies \bigcap(A)\in a$.

В упражнении 3, если выбрать $A=0$, то $\bigcap(A) = V$, и $V\subseteq A$ явно ложно. Если $A$ непуст, то, полагаю, можно найти цепочку $\in$, ведущую из $A$ в $0$, и исходя из транзитивности по индукции доказать $0\in A$, и тогда $\bigcap(A)\subseteq A$ истинно, но почему бы не написать просто $\bigcap(A)=0$?

В упражнении 4, если выбрать $a=0$ и $A=\{0\}$, то следует $0\in 0$. Возможно, имелось в виду $a\in A \implies \bigcap(A)\subseteq a$?

Цитата:

(4) $\alpha\in K_\mathrm{I} \implies \alpha = \sup(\alpha) + 1$.

Если выбрать $\alpha=0$, то $\sup(\alpha) + 1 = 0 + 1 = 1\not=0$. (Мне кажется, по идее, $0$ надо считать предельным ординалом.)

Цитата:

Определение 7.22. $\alpha + 1 \overset{\Delta}{=} \alpha\cup \{\alpha\}$.

Цитата:

Определение 7.27. $K_\mathrm{I} \overset{\Delta}{=} \{\alpha\mid \alpha = 0 \lor (\exists\beta)[\alpha = \beta + 1]\}$.
$K_\mathrm{II} \overset{\Delta}{=} \mathrm{On} - K_{I}$.

Заглавными латинскими буквами обозначаются классы, греческими буквами обозначаются ординальные множества. Пустое множество обозначается как $0$. Класс всех множеств обозначается как $V$. Класс всех ординальных множеств обозначается как $\mathrm{On}$. Предикат $\operatorname{Tr}(A)$ значит, что $A$ транзитивен.

[arseniiv]

(Хм кстати может оказаться полезным Metamath. Там некоторые идеи брались из Takeuti и Zaring как раз, так что там могут попадаться теоремы оттуда, но без потенциальных опечаток.)

[beroal]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #1414884 писал(а):

Хм кстати может оказаться полезным Metamath.

Так это ещё что-то учить надо.

[george66]

Я думаю, в (3) должно быть объединение.

[beroal]

george66 в сообщении #1414918 писал(а):

Я думаю, в (3) должно быть объединение.

Похоже, но упражнение с объединением уже было на странице 40 под номером 10.

[beroal]

Упражнение из той же оперы. Упражнение (2) после определения 7.37 на старнице 45.

Цитата:

$$\inf_{>\beta} (\alpha) = \begin{cases} 0 &\text{ if }\alpha\leq \beta, \\ \beta+1 &\text{ if }\alpha>\beta. \end{cases}$$

Пусть $\beta$ любой. Положим $\alpha = \beta+1$. Тогда

$$\alpha-\beta = (\beta\cup \{\beta\}) - \beta = \{\beta\} - \beta = \{\beta\}$$

так как $\beta\not\in \beta$. Следовательно, $\inf_{>\beta} (\alpha) = \inf(\{\beta\}) = \beta \neq \beta+1$.

Цитата:

Определение 7.37.

• (1)
  
  $$\inf(A) \overset{\Delta}{=} \begin{cases} \bigcap(A\cap \mathrm{On}) &\text{ if }A\cap \mathrm{On}\neq 0, \\ 0 &\text{ if }A\cap \mathrm{On} = 0. \end{cases}$$
• (2) $\inf_{>\beta} (A) \overset{\Delta}{=} \inf(A - \beta)$.

[beroal]

И ещё одно. Упражнение (4) после определения 7.37 на старнице 45.

Цитата:

$A\neq 0\implies \inf(A)\in A$

Положим $A = \{\{\{\varnothing\}\}\}$. Так как $\{\{\varnothing\}\} \not\in \mathrm{On}$, $A\cap \mathrm{On} = 0$, и $\inf(A) = 0$, но $0\not\in A$.

[beroal]

Упражнение 2 на странице 50.

Цитата:

Если в предложении 7.44 $a\in \mathrm{On}$ и $H$ — строго монотонная ординальная функция на $\mathrm{On}$, тогда $F$ — строго монотонная ординальная функция на $\mathrm{On}$.

Цитата:

Предложение 7.44. Если $G = \{\langle x, y\rangle \mid [x=0\land y=a] \lor [x\neq 0\land \sup(\mathscr{D}(x)) \neq \mathscr{D}(x)\land y = H`x`\sup(\mathscr{D}(x))] \lor [x\neq 0\land \sup(\mathscr{D}(x)) = \mathscr{D}(x)\land y = \bigcup \mathscr{W}(x)]\}$ и $F \mathrel{\mathscr{F}n} \mathrm{On}\land (\forall\alpha) (F`\alpha = G` (F\restriction \alpha))$, тогда

1. $F`0 = a$,
2. $F`(\beta+1) = H` F` \beta$,
3. $F`\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} F`\gamma$, $\beta\in K_{\mathrm{II}}$,
4. $F$ уникален.

Положим $H = \{\langle x, x\rangle\mid x\in \mathrm{On}\}$. Тогда, как я понимаю, $(\forall\alpha) (F`\alpha = 0)$. То есть $F$ не является строго монотонной ординальной. Возможно, имелось в виду следующее условие на $H$: $(\forall\alpha) (\alpha < H(\alpha))$.

Обозначения: $\mathscr{W}(F)$ — это область значений функции $F$.