Разложение интеграла по маленькому параметру

[Goroshek]

Всем доброго вечера. Решая одну физическую задачу, столкнулся с необходимостью подсчитать интеграл:
$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(i z^2) \exp(-\varkappa (|x - \zeta z|-|x|) ) dz $
$ \varkappa $ - константа. При $\zeta = 0$ этот интеграл равен нулю. А мне нужно отыскать первую поправку по $\zeta$ к этому выражению, когда оно не равно нулю. (теоремы о дифференцировании интеграла по параметру тут не срабатывают, поэтому производные не берутся, а с асимптотическими методами я разобрался не очень хорошо и не понимаю, как тут выкрутиться). Буду рад любой помощи и подсказке, где разбирается что-то подобное!

[mihiv]

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp (iz^2)dz\ne 0$

[Goroshek]

mihiv в сообщении #1414497 писал(а):

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp (iz^2)dz\ne 0$

Извините, пожалуйста, неправильно набрал формулу из тетрадки:
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp{(iz^2)} \Bigl( \exp{(-\varkappa |x-\zeta z|)} -\exp{(-\varkappa |x| )} \Bigr) dz $

[Ms-dos4]

Goroshek
Ваш интеграл можно взять даже аналитически. Если я нигде не напортачил, то интеграл

$$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i{z^2}}}[{e^{ - \chi \left| {x - \xi z} \right|}} - {e^{ - \chi \left| x \right|}}]dz} $$

в случае $\chi > 0$, $x,\xi \in \mathbb{R}$ и $\xi \ne 0$ (предельный $\xi \to 0$ при этом верный) равен

$$ - {1 \over 2}(1 + i)\sqrt {{\pi \over 2}} {e^{ - \chi \left| x \right|}}[2 - {e^{{i \over 4}{\xi ^2}{\chi ^2}}}\{ 1 + {e^{2\chi \left| x \right|}}{\mathop{\rm erfc}\nolimits} ({{(1 - i)} \over {\sqrt 2 }}\left| {{x \over \xi }} \right| + {{(1 + i)} \over {2\sqrt 2 }}\chi \left| \xi \right|) + {\mathop{\rm erf}\nolimits} ({{(1 - i)} \over {\sqrt 2 }}\left| {{x \over \xi }} \right| - {{(1 + i)} \over {2\sqrt 2 }}\chi \left| \xi \right|)\} ]$$

Я в проверил на некоторых значениях численно, все сошлось, но лучше перепроверьте.

[Goroshek]

Ms-dos4 в сообщении #1414515 писал(а):

но лучше перепроверьте.

Спасибо вам огромное, что уделили время и сваяли это выражение! Честно говоря, разбегаются глаза, как его проверять; если вас не затруднит, подкиньте, пожалуйста, основную идею, как же этот ответ получить? Безусловно, я тоже не буду сидеть сложа руки и постараюсь найти такую замену, чтобы проинтегрировалось в вот эти симпатичные функции ошибок.

[Ms-dos4]

Goroshek
Обозначим

$$f(x,\chi ,\xi ) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i{z^2}}}[{e^{ - \chi \left| {x - \xi z} \right|}} - {e^{ - \chi \left| x \right|}}]dz} $$

Заметьте, что данная функция четная по первому и третьему аргументу, а второй и так положителен. Поэтому мы можем рассмотреть лишь $x,\chi ,\xi \ge 0$, а далее продолжить функцию по четности. Далее уже элементарно раскрывается модуль и интеграл $\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{i{z^2}}}{e^{ - \chi \left| {x - \xi z} \right|}}dz} $ разбивается на две части, которые и дают функции ошибок (получившиеся интегралы типа $\int\limits_{ - \infty }^{{x \over \xi }} {{e^{i{z^2}}}{e^{ - \chi (x - \xi z)}}dz} $ берутся выделением полного квадрата в показателях экспонент).

[Markiyan Hirnyk]

При $x=1,\varkappa=1$ с применением Математики получается асимптотика $\frac{\left(\frac{1}{4}-\frac{i}{4}\right) \left(2+e^2\right) \sqrt{\frac{\pi }{2}} \xi ^2}{e}.$

При $x=2,\varkappa=1$ асимптотика следующая $\frac{\left(\frac{1}{8}-\frac{i}{8}\right) \left(3+e^4\right) \sqrt{\frac{\pi }{2}} \xi ^2}{e^2}.$