Помогите построить решение уравнения

[Soshnikov_Serg]

Столкнулся с достаточно простым дифф. уравнением
$\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})+\frac{1}{x_2}\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{x_2 \frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_2}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})=0$
С одной стороны, простой заменой
$Y(x_1,x_2) = C - \sqrt{1+C^2} \tanh(U(x_1,x_2))$
уравнение сводится к известному уравнению Лапласа для $U(x_1,x_2)$ в цилиндрических координатах с аксиальной симметрией. И дальше - все известно.
НО!
Есть и такое, например, решение:
$Y(x_1,x_2)=\frac{Q}{\frac12 (r_2-r_1)-C Q}$
где
$r_1=\sqrt{(x_1-a)^2+x_2^2}$
$r_2=\sqrt{(x_1+a)^2+x_2^2}$
$a=Q \sqrt{1+C^2}$
Всю голову сломал, пытаясь получить такое решение. Подскажите, кто может, как такое решение можно вывести.
Или случай чисто эвристический?

[пианист]

А точно не
$\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})+x_2\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{x_2 \frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_2}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})=0$
или, допустим,
$\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})+\frac{1}{x_2}\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\frac{1}{x_2}\frac{\partial Y(x_1,x_2)}{\partial x_2}}{1+2 C Y(x_1,x_2)-Y(x_1,x_2)^2})=0$ ?
То бы оно в обычный лаплас свернулось..
А что есть "получить"? если оно решение (честно говоря, не проверял), то вот оно и есть..
Или имеется в виду, как получить, если заранее не знать? ну, например, искать в виде
$\varphi (\sqrt{(x_1 + a)^2+x_2^2}-\sqrt{(x_1 - a)^2+x_2^2})$

[Soshnikov_Serg]

пианист в сообщении #1414247 писал(а):

А точно не

Точно НЕ
Разве не это Лаплас в цилиндрических?
$\frac{\partial}{\partial z}{\frac{\partial U(z,\rho)}{\partial z}}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \frac{\partial U(z,\rho)}{\partial \rho})=0$

пианист в сообщении #1414247 писал(а):

А что есть "получить"? если оно решение

Оно-то - решение. Только вот не приходилось встречаться с таким методом решения дифур - угадывания.

пианист в сообщении #1414247 писал(а):

ну, например, искать в виде

Можно, но как до этого догадаться? Кстати, уравнение от этого проще не становится. Проверял. Мне кажется, тут что-то должно быть иное и более простое...

[пианист]

Он.
Ну значит Вас ещё ждут открытия
Вопрос, а зачем? У линейных уравнений может быть полно "точных" решений, к применению никаких типовых приёмов не сводящихся..
Может, и не, но запись становится вместо двух об одной переменной (ну если Вы не ошиблись).

[Soshnikov_Serg]

пианист в сообщении #1414291 писал(а):

У линейных уравнений может быть полно "точных" решений, к применению никаких типовых приёмов не сводящихся

Если честно, не помню. Сможете примерчик?

Только вот исходное уравнение - нелинейное. И для приведенного решения это - существенно. К тому же оно достаточно симметрично по отношению к перестановке $r_1$ и $r_2$, и к их знакам. Так что просто к сведению к одной переменной едва ли что-то получится...

[пианист]

Soshnikov_Serg в сообщении #1414297 писал(а):

Сможете примерчик?

Цитата:

А пожалуйста!™

Для Лапласа: $u_{xx} + u_{yy} = 0$.
Возьмем какой-нибудь анзац, "от балды", скажем,
$u = f(x - \varphi (y))$.
Подставим в диффур, после несложных манипуляций делаем вывод, что все получается, если $f$ и $\varphi$ суть решения оду
$\frac{\varphi''}{1 + {\varphi'}^2} = \lambda$,
$f'' - \lambda f' = 0$.
Если интересует
$u_{xx} + \frac{1}{y}(yu_y)_y = 0$,
то и тут анзац подходит, только оду несколько другие.

Soshnikov_Serg в сообщении #1414297 писал(а):

Только вот исходное уравнение - нелинейное

А уравнению об этом кто-то сообщил? ;)

Soshnikov_Serg в сообщении #1414297 писал(а):

И для приведенного решения это - существенно

Цитата:

У каждого свои недостатки™

Во-вторых, кто сказал, что для нелинейных уравнений ТР не бывает? Очень даже. Гляньте книжечку Яненко со товарищи "Метод дифференциальных связей..", там для учп, происходящих из МСС, ТР строгают в промышленных масштабах.

Так все-таки, в чем задача-то состоит? Какова, сосб-но, конечная цель манипуляций с диффурами?

[novichok2018]

Уважаемый пианист, для приведённого выше в качестве примера уравнения с особенностью - где можно почитать про применение метода дифференциальных связей? Спасибо.

[пианист]

Прошу прощения, не понял, о каком уравнении речь?
По видимости, в треде рассматривалось только уравнение Лапласа, в разных ракурсах.

[novichok2018]

Вот это уравнение:

"Если интересует
$u_{xx} + \frac{1}{y}(yu_y)_y = 0$,
то и тут анзац подходит, только оду несколько другие."

[пианист]

Не, не знаю.

(Оффтоп)

Честно говоря, сомневаюсь, что кто-то занимался; разве только в смысле протестировать технику.
Деятельность по отысканию точных решений имела коннотацию "давайте хоть что-то посчитаем". На нелинейных учп "ломалась" почти вся технология, развитая для линейных, так что отдельные точные решения были чем-то наподобие фонариков, позволявших подсвечивать темную муть нелинейных эффектов, типа режимов с обострением.
Ну а лапласу-то это зачем? тут все стандартные методики отлично работают (плюс еще ТФКП для двумерного).

[novichok2018]

Лапласу не надо, а для уравнения с оператором Бесселя с особенностью - не все работают, что для Лапласа.

[пианист]

Так, а что надо-то? просто какие-то решения?
Вы инвариантные смотрели?
Минимум есть сдвиги по всем переменным, растяжение $u$, равномерное растяжение по $x$ и $y$, уже какие-никакие должны быть.
Ну и, может, еще что-то есть из симметрий?

(Оффтоп)

Кстати, м.б., в отдельную тему попросить отрезать? А то нехорошо по отношению к хозяину получается.

[Soshnikov_Serg]

пианист в сообщении #1414320 писал(а):

Возьмем какой-нибудь анзац, "от балды", скажем

Ну-у, согласен. Подход несколько необычен. Нечто подобное можно и с исходным уравнением проделать. Например, если Лапласа переписать в переменных $r_1,r_2$ и искать решение в виде (а почему бы и нет?):
$\ln{(\frac{A_0 + A_1 r_1 +A_2 r_2}{B_0 + B_1 r_1 +B_2 r_2})}$
Тогда одно из решений и будет таким, как приведено в исходном сообщении. НО...

пианист в сообщении #1414320 писал(а):

Какова, сосб-но, конечная цель манипуляций с диффурами?

Можно ли какими-то манипуляциями привести уравнение к виду, когда такой вид решения перестанет быть эвристическим?

[пианист]

Ну я бы для начала попробовал понять, не относится ли Ваше решение к числу инвариантных.
Типа, так: пишем, какое условие на оператор, для которого решение инвариантно, и потом "примеряем" оператор к уравнению.
Довольно геморойно, надо сказать, но при большом желании вполне осуществимо (в смысле да-нет).

(Оффтоп)

Я никак не могу сообразить, что у уравнения $u_{xx} + \frac{1}{y}(yu_y)_y = 0$ остается от симметрий трехмерного лапласа ;(
Вроде бы, группа как-то наследуется, если факторизуем по нормальной подгруппе.

[Soshnikov_Serg]

пианист в сообщении #1414565 писал(а):

Ну я бы для начала попробовал понять

Ну да, спасибо большое. Сегодня нашел, как решается это уравнение. Есть такое метод разрешения проблемы - поделиться ею. Думаю, кому-нибудь будет интересно.
Итак, для начала перепишем исходное уравнение в виде:
$\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\ln{(\frac{\sqrt{1+C^2}-C+Y(x_1,x_2)}{\sqrt{1+C^2}+C-Y(x_1,x_2)})}+\frac{1}{x_2}\frac{\partial}{\partial x_2}(x_2 \frac{\partial}{\partial x_2}\ln{(\frac{\sqrt{1+C^2}-C+Y(x_1,x_2)}{\sqrt{1+C^2}+C-Y(x_1,x_2)})}) = 0$
Т.е. свели его к ур-ю Лапласа. Теперь вводим новые переменные
$R_1=\frac{r_1+r_2}{2}$
$R_2=\frac{r_1-r_2}{2}$
В этих переменных уравнение Лапласа сводится к следующему уравнению:
$\frac{\partial}{\partial R_1}((R_1^2-a^2)\frac{\partial}{\partial R_1}U(R_1,R_2))-\frac{\partial}{\partial R_2}((R_2^2-a^2)\frac{\partial}{\partial R_2}U(R_1,R_2))=0$
Решение последнего (не единственное, но естественное) имеет вид:
$U(R_1,R_2)=\ln{\frac{R_1-a}{R_1+a}}$ или $U(R_1,R_2)=\ln{\frac{R_2-a}{R_2+a}}$
Дальше, получить выражение для $Y(x_1,x_2)$ - задачка для школьника.
И - ничего эвристического.
Спасибо всем за обсуждение. И Пианисту - особенно!