Градиент и производная по направлению на пример

[Ivan 09]

Здравствуйте. задание звучит так.
Задана функция $z=f(x,y)$. Найти градиент и производную этой функции в заданной точки $M_0=(x_0,y_0)$ в направления вектора $l$, составляющего угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$.
$z=\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{4}xy^2 $ ; $M(1,-1)$ , $\alpha=\frac{\pi}{4}$
Попытки решения.
нашел частные производные
$z'_x=\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}y^2$

$z'_y=\frac{xy}{2}$

Величина градиента в точки M
$ \operatorname{grad (z)_M}=\frac{11}{12}\overline{i}-\frac{1}{2}\overline{j}$

Модуль градиента
$|\operatorname{grad (z)|}=\frac{\sqrt{157}}{12}$
до этого момента правильно? как найти производную по направлению?
также составил уравнение прямой $y=x-2$ она проходит через точку $M$ под нужным углом.

[Brukvalub]

Ivan 09 в сообщении #1414143 писал(а):

как найти производную по направлению?

Есть, как минимум, два способа:
1.По определению.
2. Выучить и применить т. о связи градиента и производной по направлению.

[Ivan 09]

Brukvalub
Спасибо Вам, что откликнулись.
я получил ,что производная по направлению будет
$\frac{11}{12}\etc\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\etc\frac{\sqrt{2}}{2}$
Это и будет ответом?

[teleglaz]

Если это ещё преобразовать, то это и будет ответ на вопрос "Найти производную по направлению в точке". Кстати, интересно сравнить это значение со значением $|\operatorname{grad (z)_M|}$.