Задачи по теории вероятностей

[uller]

1.Имеется n частиц, каждая из которых может находиться с одной и той же вероятностью в одной из m ячеек, найти вероятность того, что в определенных 10 ячейках окажется по 1 частице. Частицы неразличимы, m = 12, n = 10.
Вопрос:
Как рассчитать число всех способов разложить 10 неразличимых частиц по 12 ячейкам? Тут, видимо, надо считать как перестановки с повторениями, но я не могу никак посчитать сколько раз будут повторяться одинаковые состояния.

2. Случайные величины х, у распределены равномерно в интервале [0,а] и независимы.
Построить F(x-y) P(x-y).

Проблема с Р(х-у), когда строю не получается фигура с единичной площадью.
Я получил такую систему для Р(х-у) (z=x-y):
$ \left\{ \begin{array}{l} 0 , $a\leqslant z\leqslant \infty$,\\ z , $0\leqslant z\leqslant a$,\\ 2a-z , $-a\leqslant z\leqslant 0$,\\ 0 , $-\infty\leqslant z\leqslant -a$, \end{array} \right. $

3.Два студента А и В поочередно бросают игральную кость, выигрывает тот, у кого раньше выпадет пятерка. Начинает А.
а) Найти матожидание и дисперсию случайной величины, равной числу бросаний костидо окончания игры.
б) вероятность того, что игра закончится при 3-м бросании, если известно, что выиграл А.

Нашел матожидание (получилось 6), дисперсию найти не получается.

[Henrylee]

uller писал(а):

$ z , $0\leqslant z\leqslant a$,\\ 2a-z , $-a\leqslant z\leqslant 0$,\\ $

Вот это неверно.

uller писал(а):

Нашел матожидание (получилось 6), дисперсию найти не получается.

А как Вы считали дисперсию? У меня получилось.

[uller]

Во второй задаче я рассуждал так:
Геометрически: Распределение х и у можно представить в виде квадрата со стороной а и площадью 1. Функция распределения равна площади фигуры,которую отсекает от квадрата прямая y=x-b (b - параметр). На промежутке [-a;0] она отсекает фигуру, площадь которой можно найти вычетанием из 1(площади квадрата) площади неотсеченного треугольника со стороной 2а-z. На промежутке [0;a] прямая отсекает от квадрата треугольник со стороной z.
В чем моя ошибка?

В третьей задаче дисперсию считал как $(1-Mx)^2*\frac 1 6 + (Mx+1-Mx)*\frac 5 6
Получил 5, что неверно.

[Someone]

uller писал(а):

3.Два студента А и В поочередно бросают игральную кость, выигрывает тот, у кого раньше выпадет пятерка. Начинает А.
а) Найти матожидание и дисперсию случайной величины, равной числу бросаний костидо окончания игры.

uller писал(а):

В третьей задаче дисперсию считал как $(1-Mx)^2*\frac 1 6 + (Mx+1-Mx)*\frac 5 6$
Получил 5, что неверно.

А какой закон распределения у данной случайной величины? В смысле, какие значения она может принимать и с какими вероятностями?

[uller]

Закон распределения получился: F(x)= $\frac 1 6 *(\frac 5 6)^{n-1}$, где n -число бросаний

[GAA]

Дисперсию можно найти по формуле $D = M n^2 - (M n)^2$, где $M n = \sum_1^\infty{n p_n}$, $Mn^2 = \sum_1^\infty{n^2 p_n}$, $p_n$ — найденное Вами распределение вероятностей; $p_n = 1/6 (5/6)^{n-1}$.
Вместо вычисления $M n^2$ можно вычислит $M n(n-1)$, а затем найти $M n^2$, выражая его через $M n(n-1)$ и $M n$. $M n$ и $M n(n-1)$ легко находятся почленным дифференцированием, см. раздел «функциональные ряды» в любом учебнике по дифференциальному и интегральному исчислению.

Добавлено спустя 40 минут 43 секунды:

К задаче 1

Размещение неразличимых предметов по ячейкам можно посмотреть в разделе «Основные формулы комбинаторики» лекций Н.И. Черновой

[Henrylee]

uller писал(а):

В чем моя ошибка?

Ошибка не одна, но первая и главная вот какая.
посмотрите, что Вы пишите:

uller писал(а):

Геометрически: Распределение х и у можно представить в виде квадрата со стороной а и площадью 1.

Это как так?

[Henrylee]

Напишите по-человечески формулу плотности распределения вектора $(x,y)$.

[uller]

Цитата:

Это как так?

Если построить это распределение в координатных осях (х,у), то получим квадрат со стороной а.

Цитата:

Напишите по-человечески формулу плотности распределения вектора .

А что Вы имеете ввиду под "по-человечески"? Я написал то, что у меня получилось в виде системы, по-моему это самый "человеческий" способ.

Я решал аналогичным способом задачу, где нужно был построить F(x+y) и P(x+y), все получилсоь нормально. Предложите Ваш способ.

2 GAA спасибо

[ИСН]

Вы мыслите в правильную сторону. Но квадрат со стороной $a$ очень-очень редко имеет площадь 1. Осталось додумать одну маленькую мелочь.

[Henrylee]

uller писал(а):

А что Вы имеете ввиду под "по-человечески"?

Про представление распределения в виде квадрата не говорят. Говорят, что плотность этого распределения есть функция, равная (чему?) внутри квадрате $[0,a]\times[0,a]$ и нулю вне его.

[uller]

Цитата:

Про представление распределения в виде квадрата не говорят.

В виде квадрата представляется само распределние, а вот с плотностью распределения как раз не получается нормальной фигуры. Уравнения для плотности вероятности я написал в 1-м посте.

Цитата:

Но квадрат со стороной очень-очень редко имеет площадь 1.

Согласен, тут я был невнимателен, но ведь в уравнениях площадь квадрата - константа, и на уравнения для плотности распределения она не влияет.

[Henrylee]

uller писал(а):

Цитата:

Про представление распределения в виде квадрата не говорят.

В виде квадрата представляется само распределние

Повторить?

uller писал(а):

, а вот с плотностью распределения как раз не получается нормальной фигуры. Уравнения для плотности вероятности я написал в 1-м посте.

Во-первых, уравнение для плотности распределения вектора $(x,y)$ Вы не писали, во-вторых, уравнение для разности записано неверно.

uller писал(а):

Цитата:

Но квадрат со стороной очень-очень редко имеет площадь 1.

Согласен, тут я был невнимателен, но ведь в уравнениях площадь квадрата - константа, и на уравнения для плотности распределения она не влияет.

Влияет.
PS Разберитесь с определениями. У Вас каша в голове.

[uller]

Уравнения для плотности распределения вектора (х,у) я не выводил.

Цитата:

Влияет.

Как?

[Henrylee]

uller писал(а):

Уравнения для плотности распределения вектора (х,у) я не выводил.

А напрасно.
Впрочем, посмотрите выше, я уже написал, что это за функция.
Кроме того, надеюсь, не будет вопросов, подобных следующему:

uller писал(а):

Цитата:

Влияет.

Как?

на который мне сейчас остается ответить только так: "Непосредственно!"