Нужен красивый пример для теоремы Гёделя для школьников

[nevezhda]

Добрый день!
Школьники понимают математику на конкретных примерах. (Под примером я имею в виду не упражнение-задание, а наглядный частный случай).
Но с теоремами и доказательствами школьники изучают только числа, векторы и евклидову геометрию.
Я не могу придумать какое-нибудь простое утверждение (суждение) из этих областей, которое послужило бы примером для теоремы Гёделя.

Не могли бы вы подбросить пару примеров?

[mihaild]

Для которой из?
Примеры утверждений, не зависящих от арифметики - теорема Гудштейна или исчезновение червя Беклемишева. Но это ИМХО не очень "пример для теоремы Гёделя" - в ней главный интерес что она распространяется на любые хорошие теории, а не только на арифметику.

[george66]

В какой-то из книжек Верещагина и Шеня (кажется, по теории множеств) есть пример про ординал эпсилон-ноль, изложенный в виде забавной задачи с монетками разного достоинства (монетку большего достоинства разрешается менять на любое число монеток меньшего достоинства, но всё равно разоришься за конечное число обменов). Но это для продвинутых школьников. Совсем простых утверждений, неразрешимых в арифметике, нет (арифметика- сильная теория).

[arseniiv]

Вообще зацикливаться именно на теоремах Гёделя о неполноте тоже не нужно. Можно было бы покрыть все сходные утверждения одним листом: Lawvere’s fixed point theorem (nLab), ещё там же (насчёт нужности поминать теорему Гёделя кому угодно) полезен раздел History.

[epros]

Да, проблема в слишком большой "силе" арифметики, из-за чего примеры становятся не очень "школьными". Поэтому есть предложение взять достаточно слабую (но всё же неполную) арифметику, например, примитивно рекурсивную. В ней утверждение о всюду определённости функции Аккермана оказывается тем самым недоказуемым, вместе с тем истинным и к тому же эквивалентным утверждению о непротиворечивости примитивно рекурсивной арифметики.

Пример хорош тем, что доказательство этого элементарно: Нужно доказать, что лексикографически упорядоченная убывающая последовательность пар натуральных чисел конечна. Любой школьник без труда проведёт рассуждения для последовательности, начинающейся с любой конкретной пары натуральных чисел. Почему же PRA неспособна доказать одно общее утверждение? И ответ тоже довольно прост: Невозможно из бесконечного множества частных доказательств сделать одно общее, потому что доказательство состоит из конечного количества шагов.