Винберг - ошибка?

[oleg.k]

Книга Винберг Э.Б. Курс алгебры, МЦНМО, 2011, страница 10.

Винберг писал(а):

Приведем примеры алгебраических структур, состоящих не из чисел.
Пример 1. Пусть $M, N, P$ - какие-то множества и

$$f: N \to M, g: P \to N$$

- какие-то отображения. Произведением, или композицией, отображений $f$ и $g$ называется отображение

$$fg: P \to M$$

, определяемое формулой

$$(fg)(a) = f(g(a)) \forall a \in P$$

т.е. результат последовательного выполнения сначала отображения $g$, а потом $f$. (Обычно, если это не может привести к недоразумению, произведение отображений записывают без какого-либо специального знака, т.е. пишут просто $fg$: ср. обозначение $\ln \sin x$ в анализе.) В частности, при $M = N = P$ мы получим таким образом операцию на множестве всех отображений множества $M$ в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами. Так, например, согласно аксиоматике евклидовой геометрии, произведение двух движений плоскости есть также движение. Рассматривая в множестве всех движений плоскости операцию умножения, мы получаем алгебраическую структуру, называемую группой движений плоскости.

1. Если посмотреть на отображения $f$ и $g$ в начале текста, то, верно ли, что отображение $P \to M$ с общепринятой точки зрения называют композицией отображений $g$ и $f$, а не композицией отображений $f$ и $g$? Или общепринятый подход - говорить так, как написано у Винберга?

2. Винберг пишет

Винберг писал(а):

В частности, при $M = N = P$ мы получим таким образом операцию на множестве всех отображений множества $M$ в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами.

Даже если рассматривать композицию по Винбергу, это утверждение ложно. Множество всех отображений множества $M$ в себя группу не образуют. Операция будет ассоциативна, нейтральный элемент тоже будет, а вот обратного может и не найтись для некоторых отображений. Если бы в цитату добавить слово "на множестве всех биективных отображений множества $M$ в себя", то группа бы получилась. Но Винберг это слово не пишет. Более того, он пишет "на множестве всех отображений множества $M$ в себя", что недвусмысленно говорит о том, что в данном фрагменте текста рассматриваются произвольные отображения $M \to M$. Утверждение Винберга ошибочно?

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413821 писал(а):

1. Если посмотреть на отображения $f$ и $g$ в начале текста, то, верно ли, что отображение $P \to M$ с общепринятой точки зрения называют композицией отображений $g$ и $f$, а не композицией отображений $f$ и $g$? Или общепринятый подход - говорить так, как написано у Винберга?

Главное чтобы было понятно, какое применяется сначала, а какое потом. Потому я бы лично предпочёл в некоторых случаях читать композицию явно «$f$ перед $g$» или «$f$ после $g$». А в этом месте книги опечатка видится маловероятной, так что лучше принять выражение «композиция $f$ и $g$» как чтение $fg$. В любом случае можно открыть какую-то ещё, поминающую отображения в общем случае, и перепроверить как там.

Иногда хуже, иногда и обозначение перевёрнутое: $gf$ (или $g\circ f$, когда в обычном случае пишется $f\circ g$). И это бывает обоснованным, если применение таких функций пишется справа, а не слева от аргумента.

oleg.k в сообщении #1413821 писал(а):

Даже если рассматривать композицию по Винбергу, это утверждение ложно. Множество всех отображений множества $M$ в себя группу не образуют. Операция будет ассоциативна, нейтральный элемент тоже будет, а вот обратного может и не найтись для некоторых отображений.

Всё верно, но можно понимать «даёт много примеров» так, что рассматриваются ограничения этой операции на некоторые подмножества отображений — и не обязательно даже на множества всех биекций $M$; очень многие группы не изоморфны множеству всех биекций чего-нибудь.

-- Пт сен 06, 2019 01:45:35 --

А, да, насчёт чтения стоит заметить, что обычно запись $x*y$ читается «‹операция› $x$ и $y$», в порядке написания аргументов: $3+2$ «сумма 3 и 2» — и чтение композиции выше этому соответствует.

[Dan B-Yallay]

Винберг писал(а):

В частности, при $M = N = P$ мы получим таким образом операцию на множестве всех отображений множества $M$ в себя. Эта операция дает много важных примеров алгебраических структур, называемых группами.

Ту фразу про группы можно понимать и так, что операция композиции, применённая к различным множествам отображений даёт разнообразные результаты. Среди этих результатов находятся так же и много таких, в которых выполняются аксиомы группы. Так что "даёт".

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1413824 писал(а):

В любом случае можно открыть какую-то ещё, поминающую отображения в общем случае, и перепроверить как там.

У Зорича написано, что в таком случае надо говорить "композиция отображения $g$ и отображения $f$". Он даже в скобочках написал "(в таком порядке!)".

Вообще, у меня даже относительно нотации Зорича есть вопросы. Пусть $f: X \to Y$ и $g: Y \to Z$. Отображение $X \to Z$ с любой точки зрения естественно называть композицией $f$ и $g$ (так же как и по Зоричу). Но почему его обозначают $g \circ f$? Операция же на упорядоченных парах задана. Раз говорим про композицию $f$ и $g$, то не проще ли и обозначать ее как $f \circ g$? Upd. Вы меня опередили, но вопрос в силе. По Винбергу обозначение соответствует смыслу понятия операции, но не соответствует смыслу словосочетания "композиция отображения $A$ и отображения $B$". У Зорича наоборот: говорим в соответствии со смыслом композиции, а пишем в разрез смыслу операции. Зачем такие сложности? Можно же (для вышенаписанных отображений $f$ и $g$, говоря про отображение $X \to Z$) говорить "композиция отображений $f$ и $g$" и писать $f \circ g: X \to Z$.

Dan B-Yallay в сообщении #1413826 писал(а):

Ту фразу про группы можно понимать и так, что операция композиции, применённая к различным множествам отображений даёт разнообразные результаты. Среди этих результатов находятся так же и много таких, в которых выполняются аксиомы группы. Так что "даёт".

Мне потребовалось 20 минут читать одно предложение, чтобы понять о чем там речь. Логическое ударение Винберг делает по всей видимости на операции, а не на группах. Вобщем сложно как-то написано это место.

[Connector]

oleg.k в сообщении #1413821 писал(а):

Если посмотреть на отображения $f$ и $g$ в начале текста, то, верно ли, что отображение $P \to M$ с общепринятой точки зрения называют композицией отображений $g$ и $f$, а не композицией отображений $f$ и $g$?

Похожий вопрос уже обсуждался:

http://dxdy.ru/topic134775.html
По-моему, в той теме дан исчерпывающий ответ. Если употребляется запись "$f \circ g$", а не "$fg$", то, я считаю, нет никаких веских причин обозначать композицию $f$ и $g$ через $g \circ f$.

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1413831 писал(а):

Но почему его обозначают $g \circ f$?

Тут мнемоника, что порядок одинаковый слева и справа в $(f\circ g)(x) = f(g(x))$, а функция пишется чаще слева от аргумента при применении. (Исторически.)

Вообще можно вдохновиться языком Haskell и писать композицию так: $(f\mathbin\lll g)(x) = f(g(x))$ и $(f\mathbin\ggg g)(x) = g(f(x))$, где стрелки говорят, какую функцию применять сначала и какую после. Но я пока такого в текстах не встречал, и даже в коде на этом языке намного чаще видно обозначение-точку, которая наследует к математическому $\circ$.

-- Пт сен 06, 2019 02:41:47 --

Ну или что-то более традиционно выглядящее: $f\mathbin{\circ\!\!\!>}g, f\mathbin{<\!\!\!\circ}g$. Хм, всё равно страшненько.

-- Пт сен 06, 2019 02:49:13 --

Connector
Спасибо за ссылку. Кстати в той теме поминаются линейные операторы. Так вот в естественных в некотором роде обозначениях если мы будем писать $Av$ для применения линейного отображения $A\colon V\to W$ к векторам $v\in V$, тогда уместно записывать $fA^*$ для применения сопряжённого ему $A^*\colon W^*\to V^*$ к ковекторам $f\in W^*$. А то и знак сопряжения опускать, например писать что-то типа $fABCv$ и не париться расставлять ни скобки, ни звёздочки. И тут мы получим композицию и в одном порядке, и в другом в зависимости от того, какие из $A, B, C$ мы будем понимать как «исходные», а какие как сопряжённые! По-моему это занимательно, если и и не более.

-- Пт сен 06, 2019 02:50:47 --

arseniiv в сообщении #1413837 писал(а):

и в одном порядке, и в другом

Ведь $(A\mathbin\lll B)^* = A^*\mathbin\ggg B^*$.

[george66]

Откровенно говоря, я в своей книжке употреблял как попало. Тут проблема в том, что мы пишем функцию слева от аргумента $f(x)$, а стрелки обычно рисуем слева направо
$f\colon A\to B$
$g\colon B\to C$
Поэтому композицию стрелок естественно записывать $fg\colon A\to C$ (сначала применяем $f$, потом $g$) и это будет функция $g(f(x))$. Чтобы согласовать, надо либо писать $(x)f$, либо стрелки рисовать справа налево.

[Munin]

Вавилов где-то в начале рассказа про категории сообщает, что существуют две конкурирующие традиции в обозначениях:
- общеалгебраическая "справа налево": $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

- категорная "слева направо": $\xymatrix{X\ar[r]_f \ar@/^10pt/[rr]^{fg}&Y\ar[r]_g&Z}$

Понятно, в каких контекстах что естественнее и удобнее.

В любом случае, это не ошибка, а надо всего лишь сориентироваться, как говорят окружающие в том месте, где вы оказались, и переключиться в соответствующий режим.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Э, никто мою находку не оценил. Она обобщается на случай пар функций (или морфизмов) $(f, f^*)$, $\operatorname{dom}f = \operatorname{cod}f^*$, $\operatorname{cod}f = \operatorname{dom}f^*$, $(f, f^*)\circ(g, g^*) = (f\circ g, g^*\circ f^*)$ (или наоборот), хотя есть ещё получше не совсем прямое обобщение — линзы и уже их обобщения, и там есть красивая категорная формулировка, которую я не разбирал. Линза — набор из геттера и сеттера (исходно — функционально чистого, но можно применять и настоящий сеттер, меняющий значение in-place, в языках с побочными эффектами), этакий «виртуальный атрибут», $(g, s)$, $g\colon S\to V$, $s\colon S\times V\to S$ (возвращает изменённое состояние). Их композиция определяется (или получается из более общего определения) так, что выходит линза для доступа к атрибуту атрибута: $(g_\text{out}, s_\text{out})\circ(g_\text{in}, s_\text{in}) = (s\mapsto g_\text{in}(g_\text{out}(s)), (s,v)\mapsto s_\text{out}(s, s_\text{in}(g_\text{out}(s), v)))$. (С точечной записью $\circ$ хаскеля код с подобными композициями выглядит практически как точечная запись из языков с ООП или чем-то похожим.)