"О" большое и "о" малое

[ewert]

Xaositect в сообщении #1412655 писал(а):

Мне второе определение нравится больше, потому что его проще использовать

На самом деле практически нужны, конечно, оба варианта. Но как исходное определение -- первое эстетичное. Я говорил лишь о том, что большая общность второго есть некоторая фикция.

[iifat]

oleg.k в сообщении #1412471 писал(а):

На иррациональных числах

А, теперь понял.

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

В чем проблема считать для этих функций $g = o(f)$?

Дык нет же ж никакой проблемы! Кроме вот этой:

oleg.k в сообщении #1412464 писал(а):

Википедия писал(а):

Проблема только в том, что нельзя изучать математику по Википедии, будь то русская или не. Не для того она.
Вот почитали б вы учебник, да захотели своего определения о малого — никаких же ж проблем!
1. Определяете о малое как вам удобно.
2. Проходите по учебнику, доказывая аналоги теорем, исходя из вашего определения.
3. Тут два варианта: либо вы дошли до конца — и у вас есть удобный вам матаппарат; не смогли докаазать какую-нить из теорем — и у вас есть ответ, чем плохо ваше определение.
4. В любом случай — profit!

[oleg.k]

iifat в сообщении #1412667 писал(а):

Проблема только в том, что нельзя изучать математику по Википедии

Согласен. Определение из Википедии общепринятое, потому его и привел. Читаю Зорича. Заглядывал в Фихтенгольца. Определения имхо у обоих авторов недостаточно общие (особенно у Фихтенгольца).

iifat в сообщении #1412667 писал(а):

3. Тут два варианта: либо вы дошли до конца — и у вас есть удобный вам матаппарат; не смогли докаазать какую-нить из теорем — и у вас есть ответ, чем плохо ваше определение.

Предлагаете проверять все теоремы из Де Брейна? А если серьезно, то ровно так я и делаю по возможности (я не про Де Брейна, а про те теоремы, которые в учебнике)

iifat в сообщении #1412667 писал(а):

1. Определяете о малое как вам удобно.

Я хочу сформулировать такое определение, которое подходило бы для любых двух функций $f: \mathbb{R} \supset E_1 \to \mathbb{R}$ и $g: \mathbb{R} \supset E_2 \to \mathbb{R}$, какие бы области определения $E_1$ и $E_2$ у них ни были (пусть хоть $E_1 \cap E_2 = \varnothing$). Единственное требование для функций - чтобы точка $a$ (в которой мы сравниваем асимптотику) была предельной как для $E_1$, так и для $E_2$. Ну и понятно, что это определение должно обобщать существующие и не противоречить им. Я думал добавить требование локального совпадения областей определения этих функций в некоторой окрестности точки $a$, но мне это тоже не нравится, т.к. в таком случае не получиться сравнить функции $f(x) = x$ и $g(x) = x^3$, где первая определена на $\mathbb{Q}$, a вторая на $\mathbb{I}$ и те, которые предложил ewert.

Если немного отвлечься от определений и подумать над интуитивным смыслом о малого - что мы от него хотим? Имхо мы хотим, чтобы запись $f = o(g)$ означала, что функция $f$ "пренебрежимая", "бесконечно малая по сравнению с" $g$. Одно определение ставит в основу сравнения двух функций поведение их отношения. Другое определение ставит в основу представление одной функции как произведение другой и бесконечно малой. В обоих случаях области определения функций должны хотя бы локально совпадать. Но что если в основу сравнения этих двух функций ставить не их отношение и не их представление, а их колебательные функции. Возьмем функцию $f$. Каждой $\delta > 0$ поставим в соответствие колебание функции $f$ на проколотой $\delta$-окрестность точки $a$, т.е. величину $\omega (f; a) := \omega (f; \dot{V_\delta}(a))$. Тоже самое сделаем с функцией $g$. Каждая из этих функций $f$ и $g$ породит свою колебательную функцию. Может быть есть смысл сравнивать асимптотику функций $f$ и $g$ не напрямую через эти самые функции, а сравнивая поведение их колебательных функций в окрестности нуля? Колебательные функции очень красивые - они определены на $\mathbb{R}_+$ и монотонно неубывают. Будем писать $f = o(g)$, если колебательная функция, порожденная функцией $f$, "затухает" "быстрее", чем колебательная функция, порожденная функцией $g$. Можно ли развить теорию с такой точки зрения?

[Geen]

oleg.k в сообщении #1412724 писал(а):

Можно ли развить теорию с такой точки зрения?

Сравним с константной функцией....

[oleg.k]

Geen в сообщении #1412727 писал(а):

Сравним с константной функцией....

До меня туго доходит, простите. Какую функцию вы предлагаете сравнить с константной функцией?

[ewert]

oleg.k в сообщении #1412731 писал(а):

До меня туго доходит, простите. Какую функцию вы предлагаете сравнить с константной функцией?

Любую. У константной любые колебания нулевые. Даже и у ненулевой. И Вы предлагаете сравнивать значения функций по их колебаниям?..

Абсурд, естественно.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1412736 писал(а):

И Вы предлагаете сравнивать значения функций по их колебаниям?..

Нет конечно же. Я нигде такого не писал и не подразумевал. Я предлагаю сравнивать асимптотическое поведение функций по их колебаниям, но ни в коем случае не их значения. Более того, в этом и смысл: рассматривая колебания, мы пренебрегаем конкретными значениями, а значит встаем на более общую точку зрения.

Upd. Я же прямо написал об этом

oleg.k в сообщении #1412724 писал(а):

Может быть есть смысл сравнивать асимптотику функций $f$ и $g$ не напрямую через эти самые функции, а сравнивая поведение их колебательных функций в окрестности нуля?

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1412724 писал(а):

Но что если в основу сравнения этих двух функций ставить не их отношение и не их представление, а их колебательные функции. Возьмем функцию $f$. Каждой $\delta > 0$ поставим в соответствие колебание функции $f$ на проколотой $\delta$-окрестность точки $a$, т.е. величину $\omega (f; a) := \omega (f; \dot{V_\delta}(a))$. Тоже самое сделаем с функцией $g$. Каждая из этих функций $f$ и $g$ породит свою колебательную функцию. Может быть есть смысл сравнивать асимптотику функций $f$ и $g$ не напрямую через эти самые функции, а сравнивая поведение их колебательных функций в окрестности нуля? Колебательные функции очень красивые - они определены на $\mathbb{R}_+$ и монотонно неубывают. Будем писать $f = o(g)$, если колебательная функция, порожденная функцией $f$, "затухает" "быстрее", чем колебательная функция, порожденная функцией $g$. Можно ли развить теорию с такой точки зрения?

Теорию-то развить можно (если есть зачем), но лучше не писать $f = o(g)$, потому что это не совпадает с уже принятым определением. Вам уже указали, что это плохо работает для функций, не являющихся бесконечно малыми в $a$, но даже для бесконечно малых будет несовпадение: возьмем, например, $f(x) = x^2$ и $g(x) = x^3 + (x - x^3) \sin^2 \frac{1}{x}$ в нуле (везде определенные). По обычному определению $f$ не будет $o(g)$, а вот колебание у второй функции будет что-то типа $x$ и по Вашему получится $f = o(g)$.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1412738 писал(а):

Я нигде такого не писал и не подразумевал. Я предлагаю сравнивать асимптотическое поведение функций по их колебаниям, но ни в коем случае не их значения. Более того, в этом и смысл: рассматривая колебания, мы пренебрегаем конкретными значениями, а значит встаем на более общую точку зрения.

Понятно. Вы предлагаете оценивать функции не по их реальным значениям, а по их колебаниям, поскольку что функции? -- тьфу на них, никакого значения их значения не имеют.

Мне кажется, всё ясно.

[iifat]

oleg.k в сообщении #1412724 писал(а):

Предлагаете проверять все теоремы из Де Брейна?

Я?! Предлагаю?! Да ни в жизнь!
Я причиняю вам информацию. Ну, как ценник в магазине. Хотите альтернативное определение — таки да, проверяйте Де Брейна (почему, кстати, непременно Де Брейна?). Не хотите проверять — пользуйтесь чем дают.

oleg.k в сообщении #1412738 писал(а):

встаем на более общую точку зрения

На какой точке зрения вам стоять — дело, опять же, ваше, но, как вам уже вполне ясно показали, она не позволит писать

oleg.k в сообщении #1412724 писал(а):

функция $f$ "пренебрежимая", "бесконечно малая по сравнению с" $g$

Только и всего.

[oleg.k]

iifat в сообщении #1412833 писал(а):

Я?! Предлагаю?! Да ни в жизнь!

Да я так.. в рамках шутки Просто на тот момент, когда я вам это писал, я думал, что можно описывать асимптотику с помощью колебаний. Признаю, идея так себе.. И мне это ясно показали. Я и сам уже проверил эту идею на простейших примерах и она не очень согласуется со здравым смыслом.