Интерпретация вероятности как доли: имеет ли смысл?

[-_-]

В этом сообщении пойдёт речь о самодельной интерпретации понятия вероятности; эту интерпретацию я придумал из своей головы, чтобы лично мне было удобнее усваивать настоящую теорию вероятности. Мне кажется, что стало удобнее; но мне хотелось бы узнать мнение специалистов о том, насколько мои измышления осмысленны.

Считаю нужным предупредить, что я не претендую ни на какое новое слово в науке, а всего лишь прошу помочь мне разобраться, корректно ли моё понимание.

Итак, в моей самодельной интерпретации всякая вероятность (вероятностная мера) понимается как доля меры, то есть отношение меры некоторого множества a к мере его надмножества A; либо оценка этой доли (например, через предел), если сама доля почему-либо недоступна.

Например:

• Классический случай: вероятность вытащить даму из колоды в 32 карты. A — множество всех карт в колоде, a — подмножество A, состоящее из всех дам, мера — обычное арифметическое количество карт, вероятность — $4/32 = 0,125$.
  
• P-значение в статистическом тесте: A — фигура под кривой распределения, a — подмножество A, представляющее собой фигуру под интересующим нас участком кривой, мера — геометрическая площадь, вероятность — отношение площади a к площади A.
  
• Частотная оценка: вероятность рождения мальчика в некоторой популяции. A — множество всех новорождённых, a — подмножество A, состоящее из всех мальчиков, мера — количество, вероятность — предел отношения количества a к количеству A при стремлении количества новорождённых к бесконечности.

Во всех подобных случаях я считаю важным то, что вероятность — не просто отношение какой-то меры к какой-то другой, а именно отношение меры множества к мере его же надмножества. Также допускаю, что интерпретация может быть верной в случае, если одна или обе этих меры сами по себе не существуют или недоступны, но их отношение всё равно имеет смысл. (Правда, не могу придумать никакого примера для этого случая.)

Соответственно, вопросы:

1. Существуют ли какие-нибудь вещи в настоящей теории вероятностей, которые не согласуются с моей интерпретацией? Например, не противоречит ли эта интерпретация аксиоматике Колмогорова? Или: можно ли привести пример вероятности, которую никак нельзя интерпретировать в моём смысле?
   
2. Не шире ли моя интерпретация, чем понятие вероятности? То есть: можно ли привести пример доли меры в вышеописанном смысле, которая не может быть вероятностью чего бы то ни было?

[VPro]

Вы геометрическую и частотную вероятности обозвали одним словом. Но понятие вероятностной меры гораздо шире. Дайте, к примеру, вашу интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины.

[upgrade]

-_- в сообщении #1411131 писал(а):

отношение меры некоторого множества a к мере его надмножества A

А как бы вы тогда назвали обратное отношение (которое всегда $\geqslant 1$?

[arseniiv]

-_-
Вспомните условную вероятность $\Prob(X\mid A)$ — это обычная вероятность $X\cap A$ в «вероятностном подпространстве», где множество элементарных исходов — $A$, из алгебры событий выкинуты все множества ${}\not\subset A$ (проверьте, что этот набор множеств будет сигма-алгеброй!), а мера оставшихся умножена на константу, чтобы была нормированной (проверьте, что это будет мера). Так что любую вероятность можно рассматривать как условную и любую условную вероятность можно рассматривать как просто вероятность — просто всё в разных пространствах.

Заодно видно, когда будут проблемы: если мера какого-то множества бесконечна или ноль, вы не сможете такой конструкцией получить вероятностное пространство (нельзя получить нормированную меру). Надо чтобы в исходном пространстве с мерой мера $A$, которое будем оставлять, была конечной и ненулевой.

upgrade в сообщении #1411141 писал(а):

А как бы вы тогда назвали обратное отношение (которое всегда $\geqslant 1$?

Раз есть кепстр, может быть и оревятность. Хотя толку от такой вещи наверно нет.

[-_-]

VPro в сообщении #1411138 писал(а):

Дайте, к примеру, вашу интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины.

Доля площади под кривой соответствующей функции плотности распределения.

-- 19.08.2019, 18:14 --

upgrade в сообщении #1411141 писал(а):

А как бы вы тогда назвали обратное отношение (которое всегда $\geqslant 1$?

А разве в общепринятой теории вероятности как-то специально рассматривается величина, обратная вероятности?

-- 19.08.2019, 18:29 --

arseniiv в сообщении #1411153 писал(а):

-_-
Вспомните условную вероятность $\Prob(X\mid A)$ — это обычная вероятность $X\cap A$ в «вероятностном подпространстве»…
Заодно видно, когда будут проблемы: если мера какого-то множества бесконечна или ноль, вы не сможете такой конструкцией получить вероятностное пространство (нельзя получить нормированную меру).

Возможно, я чего-то недопонимаю; собственно, я и открыл эту тему в надежде на то, чтобы разобраться, чего именно. Но я не вижу, в чём разница моей интерпретации для условной вероятности по сравнению с «безусловной». Вы сами пишете, что условная вероятность — это то же самое, что просто вероятность, но в другом вероятностном пространстве.

С бесконечной или нулевой мерой я тоже пока не разглядел проблем. Я был бы вам признателен за конкретный пример типа такого: в таком-то конкретном случае общепринятая теория вероятности говорит, что такая-то вероятность равна X, но в моей интерпретации через «долю меры» для этого случая нельзя указать таких множеств a и A и такой меры, чтобы доля меры a от меры его надмножества A составляла именно X.

[upgrade]

-_- в сообщении #1411159 писал(а):

А разве в общепринятой теории вероятности как-то специально рассматривается величина, обратная вероятности?

Я не настолько хорошо знаю теорвер.

(В расчетах встречается)

Имеется три события, с вероятностями возникновения
$p_1=0,1$
$p_2=0,2$
$p_3=0,3$
вероятность невозникновения
$q_1=1-0,1$
$q_2=1-0,2$
$q_3=1-0,3$

Найти вероятность возникновения ровно одного события
решение
$P=p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3$
Но для "компьютера" удобнее писать так:
$P=q_1q_2q_3\cdot (\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}+\frac{p_3}{q_3})$,
соответственно, если $p>q$, отношение $\frac{p}{q}>1$
не вдавался в подробности - что сие означает, просто считаю и всё.

[mihaild]

upgrade в сообщении #1411164 писал(а):

Но для "компьютера" удобнее писать так:
$P=q_1q_2q_3\cdot (\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}+\frac{p_3}{q_3})$,

Не надо так писать. Что если $q_1 = 0$?

[arseniiv]

-_- в сообщении #1411159 писал(а):

Вы сами пишете, что условная вероятность — это то же самое, что просто вероятность, но в другом вероятностном пространстве.

Так в том и дело, что вы по сути предлагаете определять вероятность как условную вероятность («условную меру») событий—подмножеств данного $A$: получается отношение меры одного к мере $A$, это одно и то же. Но при этом это является и самой обычной вероятностью в суженном пространстве. Так что когда мера $A$ конечна и не ноль, ваше определение не лучше и не хуже обычного, разве что неудобно всё время делить, а когда она ноль или бесконечность, из этого определения и так ничего хорошего выходить и не должно было бы.

[upgrade]

(mihaild)

mihaild в сообщении #1411165 писал(а):

Не надо так писать. Что если $q_1 = 0$?

То есть, когда все три события точно произойдут - какова вероятность того, что произойдет ровно одно событие...тут я пас, ибо "правильная" формула говорит, что вероятность такая равна нулю, а "неправильная, но удобная" начинает создавать проблемы, которые решаются "ломом" - в программе пишется, что "если так, то пусть будет $99,99$".

[VPro]

-_- в сообщении #1411159 писал(а):

VPro в сообщении #1411138 писал(а):

Дайте, к примеру, вашу интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины.

Доля площади под кривой соответствующей функции плотности распределения.

Для шутки сойдет. У Вас еще нет никакой функции распределения, Вам ее только задать нужно. Плотность откуда взялась? А если, скажем ее нет вовсе?
Я просил задать P(x<X) для каждого X через отношение мер. Нет пока никаких кривых и интегралов.

[-_-]

VPro в сообщении #1411138 писал(а):

Дайте, к примеру, вашу интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины.

VPro в сообщении #1411169 писал(а):

Для шутки сойдет. У Вас еще нет никакой функции распределения, Вам ее только задать нужно.

Простите, я вас не понимаю. В предыдущем сообщении вы просили дать «интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины», а теперь пишете, что «нет никакой функции распределения». Так функция есть или нет?

[Евгений Машеров]

upgrade в сообщении #1411164 писал(а):

$P=p_1q_2q_3+q_1p_2q_3+q_1q_2p_3$
Но для "компьютера" удобнее писать так:
$P=q_1q_2q_3\cdot (\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}+\frac{p_3}{q_3})$,

Э... Было 6 умножений, 2 сложения.
Стало 4 умножения, 2 деления, два сложения.
В чём выгода?
И это ещё без проверки деления на ноль...

[VPro]

-_- в сообщении #1411170 писал(а):

VPro в сообщении #1411138 писал(а):

Дайте, к примеру, вашу интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины.

VPro в сообщении #1411169 писал(а):

Для шутки сойдет. У Вас еще нет никакой функции распределения, Вам ее только задать нужно.

Простите, я вас не понимаю. В предыдущем сообщении вы просили дать «интерпретацию функции распределения непрерывной случайной величины», а теперь пишете, что «нет никакой функции распределения». Так функция есть или нет?

Хорошо, вы не поняли вопроса. Бывает. Но Вы же не можете не понимать, что задавать функцию распределения через плотность этого распределения это нелепо?
Выше я задал вопрос на который хотел бы ролучить ответ: как Вы определите вероятность x<X?

[Brukvalub]

-_-, я уверен, что гениальность Колмогорова позволила ему создать столь совершенную математическую модель для понятия "вероятность", что эта модель не нуждается в каких-либо новых интерпретациях. Если не получается понять аксиоматику Колмогорова, то разумнее всего честно сказать себе: "теория вероятности мне не по уму", бросить заниматься теорией вероятности и заняться чем-нибудь другим.

[arseniiv]

Если ТС только начал, то пускай ещё попытается несколько раз. Ну и может он ожидает какого-то волшебного понимания, когда достаточно обычного.

-_-
Кстати, какие книги вы изучаете по этой теме? (Скорее всего я ничего о них сказать не смогу, но кто-то другой — вероятнее.) Может, вы выбрали неудачную, это случается.