2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Добрый день.

Я хочу посчитать отношение двух определённых интегралов $\frac{I}{N} = \frac{\int \limits_{0}^{X} x^q \exp(\beta x) dx}{\int \limits_{0}^{X} x^{q-1} \exp(\beta x) dx}$, где $X>0$, $q>0$, а $\beta \in \mathbb{R}$. Очевидно, это отношение должно быть положительным. Допустим, частный случай $\beta=0$, когда $\frac{I}{N} = \frac{q-1}{q}X$, мы не рассматриваем, т.е. $\beta \neq 0$.
Тогда я записываю $\frac{\partial I}{\partial x} = 0  = q\cdot N + \beta I$, откуда получаю отношение $\frac{I}{N} = - \frac{q}{\beta}$. В случае $\beta <0 $ всё хорошо, но случай $\beta>0$, очевидно, даёт отрицательные значения, что не согласуется с ожиданием. Что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А что есть Е?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Евгений Машеров в сообщении #1410304 писал(а):
А что есть Е?

упс, это был $x$ в моих внутренних обозначениях. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А параметр $q$ каким числом является?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
nnosipov в сообщении #1410306 писал(а):
А параметр $q$ каким числом является?

$q \in \mathbb{R}, q>0$, не обязательно натуральным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
madschumacher в сообщении #1410302 писал(а):
Тогда я записываю $\frac{\partial I}{\partial x} = 0  = q\cdot N + \beta I$

Что за волшебная формула? $x$ --- это же переменная интегрирования. Дифференцировать по $x$ интеграл, взятый тоже по $x$ --- это как? Интеграл можно дифференцировать по параметру (по $q$, например), но вот по переменной интегрирования ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
А почему производная от I по икс равна нулю? По переменной интегрирования нельзя, она "внутри", а если икс это $X$, верхний предел - то ноль точно не будет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
nnosipov в сообщении #1410308 писал(а):
Что за волшебная формула?

т.е. такая магия не работает?
А есть ли какой-то простой способ это соотношение посчитать? Т.к. $\frac{\partial N}{\partial \beta} = I$ не дает ничего конкретного, а при дифференцировании по $q$ вообще страх вылезает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:13 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
один интеграл выражается через другой банальным интегрированием по частям, и это ,вообще говоря, все. Интегралы вычисляться аналитически не обязаны

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
madschumacher в сообщении #1410310 писал(а):
А есть ли какой-то простой способ это соотношение посчитать?
Не знаю, думать надо. При $\beta<0$ неполную гамма-функцию привлечь можно. Можно попробовать числитель проинтегрировать по частям (чтобы потом упростить дробь). Maple такие интегралы не берет.

Да, при целых $q$ интегралы считаются (в виде каких-то многочленов от $X$, умноженных на экспоненту). От $\beta$ лучше избавиться заменой переменной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
madschumacher
Попробуйте после дифференцирования по бета применить интегрирования по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Делаете замену переменных, получаете неполную гамма-функцию.
https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
thething в сообщении #1410313 писал(а):
Попробуйте после дифференцирования по бета применить интегрирования по частям.

Получаю дифференциальное уравнение $\frac{dN}{d\beta} = -\frac{qN}{\beta} + \frac{X^q \exp(\beta X)}{\beta}$, а эту неоднородность я не знаю как проинтегрировать (не встечал таких крокодилов)...

-- 14.08.2019, 11:23 --

Евгений Машеров в сообщении #1410314 писал(а):
Делаете замену переменных, получаете неполную гамма-функцию.

Оох... спасибо, а то я удивлялся, что за крокозябру мне wxMaxima выкидывала...

-- 14.08.2019, 11:24 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1410311 писал(а):
Интегралы вычисляться аналитически не обязаны

Да я понимаю, что не обязаны. Но уж больно просто смотрится, тем более, что интересует не интеграл, а их отношение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
madschumacher
как заметил pogulyat_vyshel, отношение выражается через один из интегралов
$$
\frac{I}{N}=-\frac{q}{\beta}+\frac{X^qe^{\beta X}}{\beta N}.
$$
И ничего тут не поделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл функции x^q * exp(b*x)
Сообщение14.08.2019, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
alcoholist в сообщении #1410320 писал(а):
И ничего тут не поделать.

Ээх. Спасибо.
Спасибо большое всем за разъяснение. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group