Простая рекурсия

[denny]

Элементарная рекурсивная последовательность:
$x_{n+2}=x_{n+1}-x_n$
периодична с периодом 6 (при любых начальных данных, кроме ${0, 0}$)
На данном этапе на вопрос "Почему?" я могу ответить только с помощью характеристического уравнения и тригонометрического представления комплексных чисел.
Но есть ли другие способы объяснить и предсказать периодичность, хотя бы для такой простой последовательности? Чтобы понял, скажем так, умный ребенок 7-8 лет?

[nnosipov]

denny в сообщении #1410163 писал(а):

Чтобы понял, скажем так, умный ребенок 7-8 лет?

А что, вычислить первые 6 членов этой последовательности по рекуррентной формуле не помогает?

[denny]

Так любой, даже не слишком умный ребенок, спросит:
- А если начать с других чисел?

[nnosipov]

В смысле, с других $x_1$ и $x_2$? Проделать вычисления с буквами.

Пусть $x_1=a$, $x_2=b$. Тогда ... $x_7=a$, $x_8=b$ и т.д.

[denny]

Да, но все же... Получается какой-то deus ex machina.
Почему тогда $x_{n+2}=2x_{n+1} - x_n$ расходится, а
$x_{n+2}=x_{n+1} - 2x_n$ расходится знакопеременно?
Все это очевидно при алгебраическом рассмотрении. Но хотелось бы как-то более наглядно рассмотреть, геометрически, что ли...

[nnosipov]

denny в сообщении #1410171 писал(а):

Все это очевидно при алгебраическом рассмотрении. Но хотелось бы как-то более наглядно рассмотреть, геометрически, что ли...

На мой, сугубо дилетантский взгляд, это педагогическое извращение. (И потом, с чего это вдруг алгебраический подход менее нагляден, чем геометрический? Это кто так решил?) Лучше взять еще какую-нибудь содержательную задачу (их более чем дофига) и начать ее решать. Вместо того, чтобы мусолить простые идеи. Или взять сложную идею (те же комплексные числа) и начать ее постигать.

С другой стороны, красиво жить не запретишь. Хочется нагляднее --- ищите.

[Pphantom]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1410182 писал(а):

На мой, сугубо дилетантский взгляд, это педагогическое извращение.

Ну вообще-то подобные интерпретации для всяких преобразований пекаря, логистических отображений и т.п. штук народ любит, так что если это и извращение, то достаточно популярное.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Так я не против хитрых геометрических интерпретаций в сложных ситуациях (т.е. когда наивная алгебра бессильна). Но в банальных-то случаях (см. задачу ТС) зачем извращаться? Давайте уж тогда содержательную задачу обсуждать, тогда и будем голову ломать.

[DeBill]

denny в сообщении #1410163 писал(а):

Чтобы понял, скажем так, умный ребенок 7-8 лет?

Ну, можно, например, так:
рассмотрим линейное отрображение $(x,y) \mapsto (y,y-x)$. Приводя его матрицу к жордановой нормальной форме, обнаруживаем, что это - поворот на 60 (в подходящей системе координат). Ну, значит - оно периода 6

[nnosipov]

DeBill в сообщении #1410195 писал(а):

Приводя его матрицу к жордановой нормальной форме

Вот, кстати, у меня ровно такой взгляд на линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Только, понятно, сложился он далеко не сразу, а после чтения в детстве книжек типа "Возвратные последовательности" Маркушевича и, затем, прослушивания курса линейной алгебры уже в университете (где, естественно, рассматривался более расхожий пример с дифференциальными уравнениями). Да и рассказывать такие вещи можно далеко не каждому студенту, не говоря уж о школьниках.