"Цена" произведения через склейку множителей

[Alex_J]

Один пример: $26\cdot64=1664$
Склеиваем множители, старший разряд уменьшаем на 1. (То, что я назвал "ценой" в заголовке, склейка "стоит" единицу в старшем разряде)
Сколько всего таких чисел?
Перебором получается на каждую пару количества разрядов не более 100 "склеиваемых" пар чисел, во всяком случае до $abc\cdot def$ включительно, для различных "цен" $k$ от 1 до 9.

Списки прячу в "оффтоп" для экономии места.

Двузначные, $ab\cdot cd$, всего 32 пары. Т.е. общий вид $(10a+b)(10c+d)=1000(a-k)+100b+10c+d$. Пары сгруппированы по $k$.

(Оффтоп)

\\1: \\ 11\cdot10 = 0110 \\ 13\cdot25 = 0325 \\ 16\cdot40 = 0640 \\ 19\cdot50 = 0950 \\ 21\cdot55 = 1155 \\ 26\cdot64 = 1664 \\ 31\cdot70 = 2170 \\ 37\cdot75 = 2775 \\ 46\cdot80 = 3680 \\ 51\cdot82 = 4182 \\ 61\cdot85 = 5185 \\ 76\cdot88 = 6688 \\ 91\cdot90 = 8190 \\ 2: \\ 21\cdot05 = 0105 \\ 26\cdot24 = 0624 \\ 39\cdot50 = 1950 \\ 51\cdot62 = 3162 \\ 77\cdot75 = 5775 \\ 96\cdot80 = 7680 \\ 3: \\ 51\cdot42 = 2142 \\ 59\cdot50 = 2950 \\ 4: \\ 51\cdot22 = 1122 \\ 53\cdot25 = 1325 \\ 61\cdot35 = 2135 \\ 66\cdot40 = 2640 \\ 76\cdot48 = 3648 \\ 79\cdot50 = 3950 \\ 5: \\ 51\cdot02 = 0102 \\ 71\cdot30 = 2130 \\ 99\cdot50 = 4950 \\ 7: \\ 76\cdot08 = 0608 \\ 93\cdot25 = 2325\\

Коммутативности тут очевидно нет, т.е. например $99\cdot50$ подразумевает склейку именно в таком порядке, и вычитаем из старшего разряда (можно и из других, привожу не все случаи).

Случай $abc\cdot de$ с вычетом из старшего разряда: 41 пара (а всего пар $10^5$).

(Оффтоп)

\\ 1: \\ 101\cdot01 = 00101 \\ 111\cdot10 = 01110 \\ 133\cdot25 = 03325 \\ 151\cdot34 = 05134 \\ 166\cdot40 = 06640 \\ 181\cdot45 = 08145 \\ 199\cdot50 = 09950 \\ 221\cdot55 = 12155 \\ 226\cdot56 = 12656 \\ 276\cdot64 = 17664 \\ 301\cdot67 = 20167 \\ 331\cdot70 = 23170 \\ 397\cdot75 = 29775 \\ 451\cdot78 = 35178 \\ 496\cdot80 = 39680 \\ 551\cdot82 = 45182 \\ 661\cdot85 = 56185 \\ 826\cdot88 = 72688 \\ 901\cdot89 = 80189 \\ 991\cdot90 = 89190 \\ 2: \\ 399\cdot50 = 19950 \\ 797\cdot75 = 59775 \\ 996\cdot80 = 79680 \\ 3: \\ 326\cdot08 = 02608 \\ 461\cdot35 = 16135 \\ 576\cdot48 = 27648 \\ 599\cdot50 = 29950 \\ 651\cdot54 = 35154 \\ 4: \\ 421\cdot05 = 02105 \\ 476\cdot16 = 07616 \\ 526\cdot24 = 12624 \\ 533\cdot25 = 13325 \\ 571\cdot30 = 17130 \\ 666\cdot40 = 26640 \\ 701\cdot43 = 30143 \\ 799\cdot50 = 39950 \\ 951\cdot58 = 55158 \\ 5: \\ 999\cdot50 = 49950 \\ 7: \\ 933\cdot25 = 23325 \\ 8: \\ 851\cdot06 = 05106 \\ 941\cdot15 = 14115\\

39 пар для $ab\cdot cde$ и вычета из старшего разряда.
Всего 68 пар для $abc\cdot def$ и вычета из старшего разряда.
А вот для $abc\cdot def$ и вычета из следующего за старшим разряда оставляем только случаи $k\leq b$, чтобы не трогать старший разряд, и получаем всего 93 пары (а всего пар $10^6$):

(Оффтоп)

1: \\ 011\cdot100 = 001100 \\ 013\cdot250 = 003250 \\ 016\cdot400 = 006400 \\ 019\cdot500 = 009500 \\ 021\cdot550 = 011550 \\ 025\cdot625 = 015625 \\ 026\cdot640 = 016640 \\ 031\cdot700 = 021700 \\ 037\cdot750 = 027750 \\ 041\cdot775 = 031775 \\ 046\cdot800 = 036800 \\ 051\cdot820 = 041820 \\ 061\cdot850 = 051850 \\ 073\cdot875 = 063875 \\ 076\cdot880 = 066880 \\ 091\cdot900 = 081900 \\ 121\cdot925 = 111925 \\ 126\cdot928 = 116928 \\ 151\cdot940 = 141940 \\ 181\cdot950 = 171950 \\ 226\cdot960 = 216960 \\ 251\cdot964 = 241964 \\ 361\cdot975 = 351975 \\ 376\cdot976 = 366976 \\ 451\cdot980 = 441980 \\ 751\cdot988 = 741988 \\ 2: \\ 021\cdot050 = 001050 \\ 026\cdot240 = 006240 \\ 039\cdot500 = 019500 \\ 041\cdot525 = 021525 \\ 051\cdot620 = 031620 \\ 077\cdot750 = 057750 \\ 096\cdot800 = 076800 \\ 126\cdot848 = 106848 \\ 153\cdot875 = 133875 \\ 191\cdot900 = 171900 \\ 251\cdot924 = 231924 \\ 381\cdot950 = 361950 \\ 476\cdot960 = 456960 \\ 761\cdot975 = 741975 \\ 951\cdot980 = 931980 \\

(Оффтоп)

3: \\ 041\cdot275 = 011275 \\ 051\cdot420 = 021420 \\ 059\cdot500 = 029500 \\ 146\cdot800 = 116800 \\ 233\cdot875 = 203875 \\ 251\cdot884 = 221884 \\ 291\cdot900 = 261900 \\ 581\cdot950 = 551950 \\ 4: \\ 041\cdot025 = 001025 \\ 051\cdot220 = 011220 \\ 053\cdot250 = 013250 \\ 061\cdot350 = 021350 \\ 066\cdot400 = 026400 \\ 076\cdot480 = 036480 \\ 079\cdot500 = 039500 \\ 151\cdot740 = 111740 \\ 157\cdot750 = 117750 \\ 196\cdot800 = 156800 \\ 251\cdot844 = 211844 \\ 261\cdot850 = 221850 \\ 376\cdot896 = 336896 \\ 391\cdot900 = 351900 \\ 651\cdot940 = 611940 \\ 751\cdot948 = 711948 \\ 781\cdot950 = 741950 \\ 976\cdot960 = 936960 \\ 5: \\ 051\cdot020 = 001020 \\ 057\cdot125 = 007125 \\ 071\cdot300 = 021300 \\ 099\cdot500 = 049500 \\ 176\cdot720 = 126720 \\ 197\cdot750 = 147750 \\ 251\cdot804 = 201804 \\ 281\cdot825 = 231825 \\ 351\cdot860 = 301860 \\ 393\cdot875 = 343875 \\ 491\cdot900 = 441900 \\ 876\cdot944 = 826944 \\ 981\cdot950 = 931950 \\

(Оффтоп)

6: \\ 296\cdot800 = 236800 \\ 473\cdot875 = 413875 \\ 591\cdot900 = 531900 \\ 7: \\ 076\cdot080 = 006080 \\ 093\cdot250 = 023250 \\ 185\cdot625 = 115625 \\ 277\cdot750 = 207750 \\ 376\cdot816 = 306816 \\ 576\cdot880 = 506880 \\ 691\cdot900 = 621900 \\ 8: \\ 396\cdot800 = 316800 \\ 791\cdot900 = 711900 \\ 9: \\ 891\cdot900 = 801900\\

-- 11.08.2019, 00:35 --

Из пар трёхзначных чисел с вычетом из младшего разряда первого числа убираем все те, где в старшем разряде ноль. Остаётся всего 8 пар, особенно отличилось число 126:

(Оффтоп)

$ 2: 126\cdot992 = 124992 \\ 3: 126\cdot984 = 123984 \\ 4: 126\cdot976 = 122976 \\ 4: 376\cdot992 = 372992 \\ 5: 126\cdot968 = 121968 \\ 6: 126\cdot960 = 120960 \\ 6: 626\cdot992 = 620992 $