Интересный график функции

[Siropchik]

Иногда я набираю в проге по построению графиков какую-нибудь сложную функцию и любуюсь картинкой. И вот на эту функцию $(1+1/e^x)^\exp(x)$ программа выдала любопытный результат.
Разные куски графика из нескольких программ:














На отрицательных значениях х с определенного момента у=1, а в промежутке -745<x<-710 случается какая-то фигня.




И у меня возникла пара вопросиков.
1. Можно ли полагать, что такой странный график получается из-за неточности вычислений?
2. И, если это не точный график, то можно ли нарисовать точный?
3. Есть ли способы исследования этой функции?
А еще подскажите какие-нибудь сайты, где есть галереи графиков.

[gris]

Сначала лучше исследовать функцию. Она хорошая. Способы стандартны и описаны в любом учебнике по математическому анализу. Проще рассматривать и дифференцировать её как сложную функцию. На первой картинке достаточно точный график, если бы ещё такое понятие было применимо к нарисованным графикам. Эскиза графика обычно хватает для понимания. Можно построить хороший эскиз и для весьма удалённых от нуля интервалов, но численно или в пакетах это вряд ли получится. Мне кажется

[matidiot]

Такую же фигню выдает даже Вольфрам-альфа:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D(1%2B1%2F(e%5Ex))%5E(e%5Ex)+from+x%3D0+to+x%3D50.
Тоже тупой оказался! А причина - в конечной арифметике (в потере точности вычислений с большими порядками чисел).
Для точного графика в пределе правая ветвь - прямая $y=e$, никаких отклонений не должно быть.

[wrest]

gris в сообщении #1408984 писал(а):

Можно построить хороший эскиз и для весьма удалённых от нуля интервалов, но численно или в пакетах это вряд ли получится. Мне кажется

Там где точность регулируется, там можно построить чтобы не колбасило. Где-то по $0,44$ цифры на единицу аргумента (т.е. для $x=1000$ выставляем точность в $440$ значащих цифр).

[Siropchik]

Да, действительно, функция гладкая получается, без колбасы. Думаю, тему следовало назвать колбаса конечной арифметики.

[Евгений Машеров]

Siropchik в сообщении #1408982 писал(а):

1. Можно ли полагать, что такой странный график получается из-за неточности вычислений?
2. И, если это не точный график, то можно ли нарисовать точный?
3. Есть ли способы исследования этой функции?

1. Да. Именно поэтому. В числителе у Вас сумма единицы с очень малым числом. Когда оно становится сравнимо по порядку с младшими разрядами при заданной точности (7-8 при одинарной, 13-14 при двойной и т.п.), разряды, не представимые в данной точности, теряются, и Вы имеет дело с игрой ошибок округления.
2. Можно. Руками. Имея в виду, что это у Вас приближения ко "второму замечательному пределу", так что будет приближаться к $e\approx 2.718281828459...$, так что будет плавное приближение к данному числу. Ну, или можно поиграть с числами повышенной точности, но это из серии "не беги от медведя, умрёшь уставший", эффект останется, но будет проявляться при больших значениях аргумента. Хотя чисто в педагогических соображениях попробовать можно, или даже оформить, как доклад на студенческой конференции "влияние точности вычислений".
3. Ну, есть приёмы, с которыми в школе знакомили (в кружках больше). Асимптоты, максимумы, пересечения нуля... Институт добавит про производные.

[Siropchik]

Я нашла асимптоты и первую и вторую производные, так что все пучком, (а я тугодум), первая картинка все исчерпывает. Функция возрастающая, а точка перегиба где-то на -0,2 (но не 0).

[worm2]

Siropchik в сообщении #1408982 писал(а):

в промежутке -745<x<-710 случается какая-то фигня

А вот эта фигня мне непонятна, у меня нет идей, откуда она могла бы возникнуть.
Ну точнее, одна слабенькая идея есть: при встрече с денормализованным числом (они как раз здесь обитают) кого-то (или процессор, или библиотеку) глючит, и он (или она) начинает пороть чушь, хотя вполне мог(ла) бы не пороть.

[venco]

worm2 в сообщении #1409093 писал(а):

Siropchik в сообщении #1408982 писал(а):

в промежутке -745<x<-710 случается какая-то фигня

А вот эта фигня мне непонятна, у меня нет идей, откуда она могла бы возникнуть.

Денормализованные числа расширяют диапазон представимых чисел в области нуля (с потерей точности), поэтому основание становится бесконечностью раньше, чем экспонента нулём. Ну и у $pow(x,y)$ такое свойство, что если $y=0$, результат равен $1$ независимо от $x$.

[worm2]

А, всё, дошло, в чём ошибся. Почему-то вообразил, что основание — $1+e^x$, и не мог понять, где там бесконечность. Теперь всё встало на свои места.