Вопрос по метрике Фишера

[ChaosProcess]

Допустим, я рассматриваю статистическое многообразие дихотомных распределений $\begin{pmatrix} p \\ 1-p \end{pmatrix}$. Единственной координатой является $p\in [0,1]$. Тогда метрика будет однокомпонентной, и ее вычисление по определению даст:

$$ g_{11}=p\frac {\partial \ln p}{\partial p}\frac {\partial \ln p}{\partial p}+(1-p)\frac {\partial \ln (1-p)}{\partial p}\frac {\partial \ln (1-p)}{\partial p}=\frac {1}{p}+\frac {1}{1-p}. $$

Я правильно все сделал?

[Markiyan Hirnyk]

Правильность полученного Вами результата подтверждает Мэйпл

with(Statistics):
FisherInformation(Bernoulli(p), 1, p);

$-{\frac {1}{p \left( p-1 \right) }}$

[ChaosProcess]

Хм, а в Вольфраме то я проверить и не догадался)
Тогда у меня вопрос. Опять же следуя англоязычной вике, вводится действие для кривой, стандартным образом:

$$ A=\frac {1}{2}\int\limits_{a}^{b}g_{jk}(\theta)\frac {\partial \theta_j}{\partial t}\frac {\partial \theta_k}{\partial t}dt, $$

здесь $\theta_j$ - обобщенные координаты стат-многообразия. Так вот, для дихотомного распределения интеграл расстояния для крайних распределений сходится:

$$ \int\limits_{0}^{1}\sqrt{g_{11}}dp=\int\limits_{0}^{1}\frac {1}{\sqrt{p(1-p)}}dp=\pi, $$

а интеграл действия расходится. Где здесь подвох?

И еще более общий вопрос, может кто знает. Как вообще используются идеи римановой геометрии в статистике и теории информации? Зачем нужны эти метрики, соответствующие римановы связности и т.д.?

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Хм, а в Вольфраме то я проверить и не догадался)

ВольфрамАльфа не отвечает это. Ответов на остальные Ваши вопросы (формулировка первого мне непонятна, второй очень общий) не знаю, т.к. я не специалист в этой области.

[Brukvalub]

ChaosProcess в сообщении #1408766 писал(а):

Где здесь подвох?

А в чем состоит подвох? Разве есть теорема, что интеграл действия всегда сходится?