Помогите решить одно уравнение

[durapy]

Очень интересное уравнение!

[незваный гость]

После возведения в квадрат (условия $x > -2, |x| > 1$) имеем уравнение $(x^2 + x -1)(x^3 + x^2 - 2x -1) = 0$. Из его решений выбираем корни $-\frac{1+\sqrt5}{2}$ и два из трех корней второго сомножителя, удовлетворяющих области определения.

[durapy]

А как вы пришли к такому разложению на множители? Есть какой-то способ, или это просто метод пристального взгляда?

[AHOHbIMHO]

durapy писал(а):

А как вы пришли к такому разложению на множители? Есть какой-то способ, или это просто метод пристального взгляда?

В Maple набирается команда
factor((x^2-1)^2*(x+2)-1);

[Someone]

durapy писал(а):

А как вы пришли к такому разложению на множители? Есть какой-то способ, или это просто метод пристального взгляда?

Можно попробовать таким способом, не гарантирующим, однако, успеха.
Попытаемся разложить наш многочлен на множители второй и третьей степени с целыми коэффициентами:

$$(x^2-1)^2(x+2)-1=x^5+2x^4-2x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)=x^5+(a+c)x^4+(b+ac+d)x^3+(bc+ad+e)x^2+(bd+ae)x+be$$

.
Сравнивая коэффициенты слева и справа, получаем систему уравнений

$$\begin{cases}a+c=2,\\b+ac+d=-2,\\bc+ad+e=-4,\\bd+ae=1,\\be=1.\end{cases}$$

Из последнего уравнения видим, что либо $b=e=1$, либо $b=e=-1$. Подставляя каждую пару в предыдущие уравнения, после некоторой возни получаем требуемое разложение.