p-эквивалентность в челночном (back-and-forth) методе

[beroal]

Цитата:

Мы расширим наш словарь дальше: будем называть $k$-кортеж $\vec{a} = (a_1, \dots, a_k)$ в универсуме отношения $R$ и $k$-кортеж $\vec{b} = (b_1, \dots, b_k)$, взятый из универсума отношения $R'$, $p$-эквивалентными, если второй есть образ первого через $p$-изоморфизм из $R$ в $R'$. … Это отношение эквивалентности: рефлексивное, симметричное и транзитивное. Мы будем писать его $(\vec{a}, R)\sim_p (\vec{b}, R')$, указание отношения $R$ особенно необходимо, если, например, $R'$ есть продолжение $R$, так что на $\vec{a}$ также можно смотреть как на взятый из универсума $R'$; если отношение ясно из контекста, мы можем писать просто $\vec{a}\sim_p \vec{b}$.

(страница 4)

Цитата:

Лемма 2.3. Если арность $m$ отношения и целые числа $n$ и $p$ фиксированы, существует всего лишь конечное количество $C(n, p)$ классов $p$-эквивалентности $n$-кортежей.

(Выше цитаты из книги: Poizat, Bruno. A Course in Model Theory: An Introduction to Contemporary Mathematical Logic. Trans. Moses Klein. New York: Springer-Verlag, 2000. Print.)
Чего я не пойму, это на каком множестве определено это отношение эквивалентности $\sim_p$?

С одной стороны, это все структуры вида $(E, R, \vec{a})$, где $E$ — множество, $R$ — $m$-местное отношение на $E$, $\vec{a}$ — $n$-кортеж с элементами из $E$. Множество $E$ в книге подразумевается, но не показано. Но эти структуры, по-моему, не образуют множества, так как выбор $E$ никак не ограничен.

С другой стороны, это все $n$-кортежи для фиксированных множеств $E$ и $E'$ и фиксированных отношений $R$ на $E$ и $R'$ на $E'$. Но тогда, по идее, должно быть $E=E'$, так как кортежи надо брать из одного множества $E^n$. В книге не сказано, что $E=E'$.

[stef]

Да, как и отношение, скажем, изоморфизма групп, отношение $p$-эквивалентности не определено ни на каком множестве, оно определено на собственном классе. Теорему вроде

Цитата:

Для любого натурального $n$ существует лишь конечное число классов изоморфизма групп порядка $n$.

формально можно понимать как

Цитата:

Для любого натурального $n$ существует такое $N$, что среди любой $N+1$ группы порядка $n$ найдутся две изоморфные.

.
Обычно это не приводит к серьёзным трудностям.

[beroal]

stef в сообщении #1408777 писал(а):

Да, как и отношение, скажем, изоморфизма групп, отношение $p$-эквивалентности не определено ни на каком множестве, оно определено на собственном классе.

Значит, всё-таки говорится о классе всех структур.

stef в сообщении #1408777 писал(а):

формально можно понимать как
Quote:

Для любого натурального $n$ существует такое $N$, что среди любой $N+1$ группы порядка $n$ найдутся две изоморфные. .
Обычно это не приводит к серьёзным трудностям.

Однако в доказательстве появляются «множества» таких классов эквивалентности. Удобнее было бы оперировать обычными множествами. Может, универсумы Гротендика помогут?