Об детерминанте матрицы

[misha.physics]

Здравствуйте. В книге Ефимов Н. Линейная алгебра и многомерная геометрия (2004) дается формула для детерминанта матрицы

$$\operatorname{Det}A=\sum\limits_{i_1,...,i_n}\delta_{i_1i_2...i_n}a_{i_11}a_{i_22}...a_{i_nn}.$$

Потом говорится, что в этой формуле вторые индексы элементов матрицы $A$ взяты в натуральном порядке. А для иного их расположения, а также в случаях их повторений имеем

$$\sum\limits_{i_1,...,i_n}\delta_{i_1,...,i_n}a_{i_1j_1,...,i_nj_n}=\delta_{j_1,...,j_n}\operatorname{Det}A.$$

Мне не понятна вторая формула, в частности обозначения $\delta_{i_1,...,i_n}$ и $a_{i_1j_1,...,i_nj_n}$, в предыдущей формуле ведь не было запятых между индексами (внутри суммы). Следовательно, не понятно, где здесь иное расположение и повторения.

-- 01 авг 2019, 12:33 --

Поспешил, похоже, запятые это просто техническая опечатка при копировании.

[Otta]

Это не опечатка, это одна и та же запись. В смысле, запись одного и того же. Нам рассказывали, что в свое время было принято писать $a_{i,j}$, а потом запятая между индексами стала часто опускаться и получилось более привычное сейчас $a_{ij}$.

[Markiyan Hirnyk]

Видел учебное пособие СПбГУ по линейной алгебре, в котором элементы матрицы обозначались $a[i,j]$ для согласованности обозначений с обозначениями алгоритмических языков.

[misha.physics]

Разобрался с иным расположением и повторениями на примере.

Otta, спасибо. Мне просто кажется странным использовать на двух соседних страницах книги разные обозначения без оговорки об этом.

[Otta]

misha.physics
Возможно, просто из другого издания перекочевало. Обозначение-то, в общем, довольно стандартное. И то, и другое.