Определитель матрицы (n+1)х(n+1)

[classman]

Пусть для $j = 0,\ldots , n$ $a_j = a_0+ j\cdot d$, где $a_0,d$ фиксированные действительные числа. Вычислить определитель матрицы $A$ размера $(n+1)\cdot (n+1)$

$$ \begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&...&a_n\\ a_1&a_2&a_3&...&a_{n-1}\\ a_2&a_3&a_4&...&a_{n-2}\\ ...&...&...&...&...\\ a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&...&a_0\\ \end{bmatrix} $$

-- 30.07.2019, 04:20 --

В принципе свел к треугольной за 4 или 5 перестановок, но может есть какая-то рекуррентная формула?

[alcoholist]

Не вижу квадратной матрицы: во второй строке на два элемента меньше, чем в первой.

[nnosipov]

classman
Такие матрицы (точнее, их определители) называются циркулянтами. Есть общая формула для вычисления циркулянта. Ею нужно просто воспользоваться (рекомендуется сначала ее самостоятельно вывести) в Вашем частном случае.

[classman]

alcoholist в сообщении #1407808 писал(а):

во второй строке на два элемента меньше, чем в первой.

Да, слишком сонным грузил
Матрица, конечно, такая

$$ \begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&...&a_n\\ a_1&a_0&a_1&...&a_{n-1}\\ a_2&a_1&a_0&...&a_{n-2}\\ ...&...&...&...&...\\ a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&...&a_0\\ \end{bmatrix} $$

[nnosipov]

classman в сообщении #1407823 писал(а):

Матрица, конечно, такая

Тогда это не циркулянт, пардон.

[TOTAL]

classman в сообщении #1407823 писал(а):

Матрица, конечно, такая

Для $n=5$ изобразите всю матрицу

[classman]

TOTAL

TOTAL в сообщении #1407826 писал(а):

Для $n=5$ изобразите всю матрицу

Зачем? Держите

$$ \begin{bmatrix} a_0&a_1&a_2&a_3&a_4\\ a_1&a_0&a_1&a_2&a_3\\ a_2&a_1&a_0&a_1&a_2\\ a_3&a_2&a_1&a_0&a_1\\ a_4&a_3&a_2&a_1&a_0\\ \end{bmatrix} $$

-- 30.07.2019, 12:03 --

nnosipov

nnosipov в сообщении #1407824 писал(а):

Тогда это не циркулянт

Циркулянт, это которые получаются сдвигом строки, да?
Если так, то да, это не циркулянт

[nnosipov]

classman в сообщении #1407827 писал(а):

Циркулянт, это которые получаются сдвигом строки, да?

Да.

[alcoholist]

$m_{ij}=a_{|i-j|}$

[alcoholist]

Экспериментально получен ответ

$$D_n=(-2d)^na_{\frac{n}{2}}.$$

Подозреваю, что имеет место соотношение

$$D_{n+2}+4dD_{n+1}+4d^2D_n=0.$$

[mihiv]

Из первого столбца вычесть второй, из второго третий и т.д. Формула получается такая же, но вместо второго множителя у меня $\dfrac d2n+a_0$, т.к. $n$ может быть и нечетным.

[alcoholist]

$$\dfrac d2n+a_0=a_0+\frac{n}{2}d=a_{\frac{n}{2}}$$