натуральное уравнение кривой

[zoo]

В $\mathbb{R}^3$ имеется ограниченая кривая, заданная своей кривизной $k(s)>0$ и кручением $\ae(s)$, $s$--натуральный параметр. Обе функции непрерывны на $\mathbb{R}$ и 1-периодичны. Доказать, что для любого $\varepsilon>0$ найдется константа $c,\quad |c|\le\varepsilon$ такая, что кривая с кривизной $k(s)$ и
кручением $\ae(s)+c$ будет неограниченной.

Опр. Кривая называется ограниченой, если точки этой кривой при всех $s\in\mathbb{R}$ содержатся в некотором шаре фиксированного радиуса

[Руст]

Если изменить кручение на постоянную с, то после оборота (сдвига кривой по периоду) конец вернётся со сдвигом на вектор r. При следующем обороте ещё на r (так как кривизна и кручение не зависят от сдвига) и т.д.

[zoo]

Руст писал(а):

Если изменить кручение на постоянную с, то после оборота (сдвига кривой по периоду) конец вернётся со сдвигом на вектор r. При следующем обороте ещё на r (так как кривизна и кручение не зависят от сдвига) и т.д.

Я это не понял, но все гораздо интересней. Я изменю условие задачи.
В $\mathbb{R}^3$ имеется ограниченая кривая, заданная своей кривизной $k(s)>0$ и кручением $\ae(s)$, $s$--натуральный параметр. Обе функции непрерывны на $\mathbb{R}$ и 1-периодичны. Доказать, что при любом $\varepsilon>0$ найдутся константы $c_1,c_2\in (0,\varepsilon)$ такие, чтоо кривая с кривизной $k(s)$ и
кручением $\ae(s)+c_1$ будет неограниченной, а кривая с тойже кривизной и кручением $\ae(s)+c_2$ будет ограниченой.

[Руст]

Я не вижу разницы. Во втором случае сдвиг такой, что конец опять попал на кривую с некоторым сдвигом по парамету.

[zoo]

Руст писал(а):

Если изменить кручение на постоянную с, то после оборота (сдвига кривой по периоду) конец вернётся со сдвигом на вектор r. При следующем обороте ещё на r (так как кривизна и кручение не зависят от сдвига) и т.д.

Правильно ли я Вас понял, что аналогичное утверждение справедливо и если малую константу добавлять только к кривизне?

[Руст]

Если к кривизне, то не всегда, не для всякой замкнутой кривой. Например кривая без кручения с постоянной кривизной останется всегда замкнутой, а стало быть ограниченной.

[zoo]

Руст писал(а):

Я не вижу разницы. Во втором случае сдвиг такой, что конец опять попал на кривую с некоторым сдвигом по парамету.

Тогда давайте зазбираться по-порядку. На самом деле я просто не понимаю, что Вы говорите, о каких концах идет речь, например?. Пожалуйста сформулируйте Ваши утверждения аккуратно: что дано, что из этого следует.

[zoo]

кривая на плоскости задана натуральным уравнением $k(s)>0,\quad s\ge 0$ функция $k(s)$ непрерывна и 1-периодична
написать условия ограниченности кривой написать условия замкнутости кривой

[ИСН]

Касательно всей этой функции, нам интересны только некоторые хитрые интегралы, приводящие к вектору (на сколько мы уехали за период) и углу (на сколько при этом согнулись). Условие ограниченности простое до тупости: либо вектор равен нулю, либо угол - не равен. С замкнутостью чуть-чуть сложнее...

[zoo]

ИСН писал(а):

Касательно всей этой функции, нам интересны только некоторые хитрые интегралы, приводящие к вектору (на сколько мы уехали за период) и углу (на сколько при этом согнулись). Условие ограниченности простое до тупости: либо вектор равен нулю, либо угол - не равен. С замкнутостью чуть-чуть сложнее...

это неверно даже на качественном уровне

[ИСН]

Бывает. Errare humanum est. С интересом выслушаю правильный ответ.

[zoo]

обязательно выложу, но сперва хочу этим еще кого-нибудь заинтересовать, с тем чтобы потом обсудить трехмерный случай

[maxal]

zoo, задачи по сходной тематике рекомендуется группировать в единые темы. Объединяю эту тему с вашей предыдущей про кривые.