О мерах иррациональности числа по разным основаниям

[Ruslan_Sharipov]

Мера иррациональности $\mu(x)$ вещественного числа $x\in\mathbb R$ определяется через множество $M(x)$ всех чисел $\mu$, таких, что неравенство $0<\Bigl|x-\dfrac{p}{q}\Bigr|<\dfrac{1}{q^\mu}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $q$. Она есть нижняя грань множества $M(x)$: то есть $\mu(x)=\inf M(x)$. Если $M(x)=\varnothing$, то полагают по определению $\mu(x)=+\infty$.

Пусть $a\in\mathbb N$ – положительное натуральное число $a\geqslant 2$. Положим $q=a^n$ в определении меры иррациональности числа $x$ и обозначим через $M_a(x)$ множество всех чисел $\mu$, таких, что неравенство $0<\Bigl|x-\dfrac{p}{a^n}\Bigr|<\dfrac{1}{a^{\mu\,n}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах $p$ и $n>0$. Тогда величину $\mu_a(x)=\inf M_a(x)$ можно назвать мерой иррациональности числа $x$ по основанию $a$. Если $M_a(x)=\varnothing$, то положим по определению $\mu_a(x)=+\infty$. При $a=2$ получаем меру двоичой иррациональности, при $a=3$ – меру троичной иррациональности и т. д. При $a=10$ получаеся мера десятичной иррациональности. Ясно, что $1\leqslant\mu_a(x)\leqslant\mu(x)\leqslant+\infty$. Возникает ряд естественных задач для подобных мер иррациональности.

Задача 1. Чему равна мера двоичной иррациональности для рациональных чисел, не являющихся двоично-рациональными?

Задача 2. Вычислить $\mu_a(x)$ для чисел $x=\sqrt{2}$, $x=\sqrt{3}$ и т. д., то есть для всех иррациональных корней из целых чисел.

Задача 3. Вычислить$\mu_a(x)$ для числа $x=e$ (основание натурального логарифма).

Задача 4. Вычислить $\mu_a(x)$ для числа $x=\pi$ (площадь единичного круга).

Имеется связь между $\mu_2(x)$ и функциями $\alpha(x)$ и $\beta(x)$, определёнными в теме "Задачи о доле единиц в двоичной записи чисел". Если $\mu_2(x)>1$, то $\alpha(x)\leqslant\dfrac{1}{\mu_2(x)}$. Если $\mu_2(1-x)>1$, то $\beta(x)\geqslant\dfrac{\mu_2(1-x)-1}{\mu_2(1-x)}$.

Последняя фраза изменена по просьбе участника.

[demolishka]

Немного общих соображений. Я рассматриваю $x \in [0,1]$. Для почти всех $x$ выполнено $\mu_{a}(x)=1$ (в отличие от обычной меры иррациональности, которая для почти всех $x$ равна двум). Числа с $\mu_{a}(x) \geq 1 + \varepsilon$ составляют множество нулевой меры, которое тем не менее всюду плотно (и потому не пусто), т. к.

$$\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\bigcup_{j=0}^{a^{n}}\left( \frac{j}{a^{k}} - \frac{1}{a^{k(1+\varepsilon)}}; \frac{j}{a^{k}} + \frac{1}{a^{k(1+\varepsilon)}}\right)$$

всюду плотно (по т. Бэра).

Если $\mu_{a}(x)>2$, то всякая дробь вида $\frac{p}{a^{n}}$, хорошо приближающая $x$, при достаточно больших $n$ должна быть подходящей дробью. Далее нужно смотреть на рекуррентную формулу знаменателя подходящей дроби и думать, может ли она давать степень $a$. Так можно показать (для конкретных $x$), что $\mu_{a}(x) \leq 2$. Если же $1 \leq \mu_{a}(x) < 2$, то аппарат цепных дробей тут не поможет...