целочисленное решение целочисленной системы уравнений

[Paul Ivanov]

В сборнике задач по алгебре Кострикина дана такая задача (Привожу условие полностью дословно): "Доказать, что целочисленная система уравнений имеет целочисленное решение в том и только в том случае, когда для любого натурального числа $k$ наибольшие общие делители всех миноров порядка $k$ в матрице системы и в её расширенной матрице совпадают". При доказательсте требуемого в обоих направлениях эквивалентности возникают случаи, когда все миноры матрицы системы заданного k-го порядка равны 0, и тогда НОД этих миноров неопределим, далее возможны два случая 1. НОД миноров расширенной системы не равен нулю (в этом случае можно для полной корректности условия уточнить, чтобы в подобном случае надо считать, что НОД системы матрицы и НОД расширенной системы не совпадают) и 2. НОД миноров расширенной системы равен также нулю. А вот во втором случае ситуация становится вообще неопределённой. Рассмотрим две квадратных (размера 2) системы уравнений -

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x_1+0 x_2&=3& \\ 0 x_1+0 x_2&=0& \\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{rcl} 2x_1+0 x_2&=2& \\ 0 x_1+0 x_2&=0& \\ \end{array} \right.$$

Как мы видим в первом случае система несовместна, а во втором совместна, хотя НОД миноров 2x2, как для системы матрицы, так и для расширенной матрицы неопределим (все миноры данного размера равны нулю). Как изменить или может уточнить условие данной задачи, чтобы учесть данный случай? (Решение мне пока не нужно, сам попробую)

[vpb]

Так при $k=1$ НОД миноров (т.е. элементов, в данном случае) у основной матрицы (у левой системы) равен $2$, а расширенной --- $1$.

-- 28.07.2019, 20:40 --

А НОД нескольких чисел, равных нулю, считается нуль.

[vpb]

У меня появилось предположение, что Вы перепутали два значения слова "любой" : "какой-нибудь" и "каждый". Тут (да и обычно в математике, насколько я понимаю) "любой" означает "каждый". Т.е. надо рассматривать оба $k=1$ и $k=2$.

[Paul Ivanov]

Понял, спасибо.