Формулы приближенного вычисления функции и ее производной

[Falex]

Какие вообще существуют методы и формулы для приближенного вычисления функции и ее производной в точке.
Просто хотелось бы сравнить со своей формулой

[Алексей К.]

Свою формулу --- в студию! Заодно и вопрос поймём...

[Echo-Off]

Вычисление функции в точке -

$$f(x_0) \approx f(x_0)$$

(довольно плохое приближение, но лучшего математики не придумали).
Вычисление производной в точке -

$$f'(x_0) \approx \frac {f(x_0+\varepsilon) - f(x_0)} {\varepsilon}$$

[Алексей К.]

Вот и я о том же...

[RIP]

Echo-Off писал(а):

Вычисление функции в точке -

$$f(x_0) \approx f(x_0)$$

(довольно плохое приближение, но лучшего математики не придумали).

Тут я, пожалуй, не соглашусь. Всё зависит от функции. Например, если функция задана с помощью какого-нить интеграла или ряда, то, как правило, вычислить значение функции в точке нельзя в принципе, поэтому приходится прибегать к приближённым вычислениям. Какие тут методы (и что вообще под этим словом подразумевается) - это вопрос не ко мне.

Echo-Off писал(а):

Вычисление производной в точке -

$$f'(x_0) \approx \frac {f(x_0+\varepsilon) - f(x_0)} {\varepsilon}$$

Есть и другие приближения, скажем, $\frac{f(x_0+\varepsilon)-f(x_0-\varepsilon)}{2\varepsilon}$ итд. Тут я тоже некомпетентен.

ЗюЫю Я, кстати, тоже не сказал бы, что понял вопрос, особенно касательно той его части, которая относится к функции.

[Falex]

1.

$$ \sum_{s=0}^{q-1} \frac{f^{(s)}(z_0)}{s!} (z- z_0)^{s} \approx \sum\limits_{k=1}^{Nq} \lambda_k\frac{\lambda_k^q-1}{\lambda_k-1} \cdot f(z_0+\lambda_k(z- z_0)), $$

где
$\lambda_k$ --- корни уравнения

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \frac{\tau^k}{k!} = 0, \quad \tau=\frac{1}{q\lambda^q},\quad N=\left[\frac{n}{q}\right]. $$

Абсолютная погрешность:

$$ |\delta_n(z)| \le n \cdot M(r)\cdot \frac{t^{-q} - 1}{(1-t)^2} t^{n+1} \left(\frac{5}{n-q}\right)^{(n+1)/q},\quad t=\frac{|z-z_0|}{r}. $$

2.

$$ f^{(s)}(z) \approx s! \sum_{\mu=1}^{n} \lambda_{\mu}^{q-s} f(z+\lambda_\mu),\quad z \in {\mathbb C}, \quad s=0,\ldots q-1, $$

где $\lambda_k$ -- корни уравнения

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \cdot \frac{\lambda^{n-qk}}{q^k k!} = 0,\;N=\left[\frac{n}{q}\right], n \geqslant q+m. $$

Также вторая формула точна на многочленах!

[Алексей К.]

Falex писал(а):

1.

$$ \sum_{s=0}^{q-1} \frac{f^{(s)}(z_0)}{s!} (z- z_0)^{s} \approx \sum\limits_{k=1}^{Nq} \lambda_k\frac{\lambda_k^q-1}{\lambda_k-1} \cdot f(z_0+\lambda_k(z- z_0)), $$

где ...

В первой формуле мы пытаемся вычислить, насколько я понял, $f(z)$, при этом умея вычислять $f(z_0+\lambda_k(z- z_0))$???
Кто такое $q$ --- можно догадаться, а вот про $N_q$, $r$, $M(r)$, $n$...
Не рискну пока впервые использовать недавно выученное слово на "ж" из пяти(!) букв...
Скажу, что пока не разобрался, и вина в этом, видимо, не только моя.
Поправить сей скупой пост не мешало бы.

Ваше раннее творчество мне поддавалось (эллипс с монотонностью припоминается), потом пошли жутко сложные (но понятные) формулы... А это уже не лезет.

[TOTAL]

Falex писал(а):

Какие вообще существуют методы и формулы для приближенного вычисления функции и ее производной в точке.
Просто хотелось бы сравнить со своей формулой

Что считается известным?

[Falex]

Давайте пока посмотри на 2 формулу.
Какие есть другие приближенные формулы вычисления производной любого порядка?
[] - целая часть от деления,
$n > q+1$,
в случае полинома $q$ -- его степень, в случае функции можно взять $q$ достаточно большой.

[AD]

Ну вы про точность этой формулы можете что-нибудь конкретное сказать? Типа если у функции существует производная какого-то порядка, то это ваше выражение к ней заведомо сходится при $n\to\infty$, итп? И оценка на скорость сходимости? Кстати, а это уравнение ваше всегда имеет корни? Или у вас всё комплексное вообще?

[TOTAL]

Falex писал(а):

Какие есть другие приближенные формулы вычисления производной любого порядка?

Вот еще одна формула приближенного вычисления производной:

$$F^{(n)}(x) \approx F^{(n)}(x) + 0.01$$

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Falex писал(а):

Какие есть другие приближенные формулы вычисления производной любого порядка?

Вот еще одна формула приближенного вычисления производной:

$$F^{(n)}(x) \approx F^{(n)}(x) + 0.01$$

Не согласен с такой формулой. Если величина $F^{(n)}(x)$ имеет порядок $10^{-10}$, то относительная погрешность оказывается просто чудовищной. Лучше уж

$$F^{(n)}(x) \approx 1.001 \cdot F^{(n)}(x)$$

[TOTAL]

Видите, Falex, очень легко предложить гораздо более простые, но дающие гарантированно маленькие абсолютную или относительную погрешности формулы.

Falex писал(а):

2.

$$ f^{(s)}(z) \approx s! \sum_{\mu=1}^{n} \lambda_{\mu}^{q-s} f(z+\lambda_\mu),\quad z \in {\mathbb C}, \quad s=0,\ldots q-1, $$

где $\lambda_k$ -- корни уравнения

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \cdot \frac{\lambda^{n-qk}}{q^k k!} = 0,\;N=\left[\frac{n}{q}\right], n \geqslant q+m. $$

Также вторая формула точна на многочленах!

А откуда Вы узнаете, что это многочлен? И какой он степени?

[worm2]

Falex писал(а):

2.

$$ f^{(s)}(z) \approx s! \sum_{\mu=1}^{n} \lambda_{\mu}^{q-s} f(z+\lambda_\mu),\quad z \in {\mathbb C}, \quad s=0,\ldots q-1, $$

где $\lambda_k$ -- корни уравнения

$$ \sum_{k=0}^{N} (-1)^{k} \cdot \frac{\lambda^{n-qk}}{q^k k!} = 0,\;N=\left[\frac{n}{q}\right], n \geqslant q+m. $$

Также вторая формула точна на многочленах!

Похоже на известную формулу через т.н. разделённые разности:

$$f^{(s)}(x) \approx s! f(x_0; x_1; \dots; x_s)$$

,
где $x_0$, $x_1$, ..., $x_s$ --- точки, расположенные "достаточно близко" к x, $f(x_0; x_1; \dots; x_s)$ --- разделённая разность (РР) s-го порядка от функции f по системе точек $\{x_0, x_1, \dots, x_s\}$, которая определяется так:
1) РР 0-го порядка от ф-ции f по системе точек $\{x_0\}$ равна значению функции в единственной точке системы: $f(x_0)$.
2) РР n-го порядка от ф-ции f по системе точек $\{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ определяется через РР (n-1)-го порядка следующим образом:

$$f(x_0; x_1; \dots; x_n)=\frac{f(x_1; x_2; \dots; x_n)-f(x_0; x_1; \dots; x_{n-1})}{x_n-x_0}$$

Указанная формула также точна для многочленов степени не выше $s$ (при любом выборе точек).
Может быть, если здесь в качестве $x_i$ указать Ваши $z+\lambda_{\mu}$, и получится в точности Ваша формула?

[Falex]

$\lambda_k$ -- могут быть комплексными.
Порядок: $o((C)^{n/q})$, где $C$ -- константа.

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

worm2 а в какой литературе вы это взяли и желательно прям главу указать
буду смотреть. если что, то сошлюсь именно на нее.