Вопрос по продольным колебаниям стержня Рэлея-Бишопа

[Dmitry Yampolsky]

Вопрос по получению граничных условий для свободного конца стержня Рэлея-Бишопа.
Линейная плотность кинетической энергии стержня равна
$T=\frac{1}{2} p F(x) (\frac{\partial u}{\partial t})^2 + \frac{1}{2} \nu^2 p I(x) (\frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x})^2$;
линейная плотность потенциальной энергии стержня равна
$W=\frac{1}{2} E F(x) (\frac{\partial u}{\partial x})^2 + \frac{1}{2} \nu^2 G I(x) (\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})^2$,
где $u(x,t)$ - продольное смещение сечения стержня с координатой $x$ в момент времени $t$; $E, G$ - модуль Юнга и модуль сдвига; $ \nu$ - коэффициент Пуассона; $p$ - плотность стержня; $F(x)$ - площадь поперечного сечения стержня; $I(x)$ - полярный момент сечения стержня.
Соответственно, линейная плотность Лагранжиана равна: $L=T-W$.
Естественные граничные условия для свободного конца стержня получаются из уравнений вида $\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=0$.
Вопрос: как в данном случае надо брать эту производную, и как получить два граничных условия, которые физически должны означать отсутствие сил, действующих на конец стержня в продольном и поперечном направлениях?

[Red_Herring]

Dmitry Yampolsky в сообщении #1406433 писал(а):

Естественные граничные условия для свободного конца стержня получаются из уравнений вида $\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}=0$.

А что такое $\dot{y}$?

Возьмите учебник по вариационному исчислению и повторите выкладки, чтобы понять, каким будет естественное граничное условие для УЧП