Добрый день. Я пытаюсь разобраться в понятии счётности множеств, и пока вижу много противоречий. Помогите пожалуйста разобраться.
Для начала термины и утверждения взятые из русской Википедии:
- Равномощность множеств - означает (нестрого говоря), что одно множество содержат столько же элементов, сколько и другое.
- Множество называется бесконечным, если оно равномощно своему собственному подмножеству.
- Множество натуральных чисел равномощно множеству четных чисел.
- Счётное множество - бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Или это множество, равномощное множеству натуральных чисел.
- Рациональное число - число, которое можно представить обыкновенной дробью, где числитель и знаменатель - целые числа
- Между любыми двумя различными рациональными числами существует бесконечное число рациональных чисел
- Множество рациональных чисел - счётно. И вот тут есть доказательство.
- Иррациональное число - это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби, т.е. где числитель и знаменатель целые числа.
- Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Теперь имея все это под рукой смотрим доказательство из книги "Элементы теории функций и функционального анализа"
теоремы о несчетености множества действительных чисел заключенных между 0 и 1.и обнаруживаем что точно таким же образом можно доказать несчётность множества рациональных чисел на этом отрезке. Что вобщем и делается в том доказательстве - т.к. там все доказательство речь идет только о рациональных числах.
Первый вопрос: Корректно ли такое доказательство?
Второй вопрос: Можно ли иррациональное число представить в виде рациональной дроби? См. определения из Википедии. Из них следует что и числитель и знаменатель могут быть бесконечно большими числами, содержащими бесконечное количество цифр. Может что-то не так с определениями и утверждениями в Википедии?
Третий вопрос: Множество действительных чисел - бесконечно. Множество натуральных чисел тоже бесконечно. Значит ли это что они равномощны? А ведь из их равномощности будет следовать и счётность множества действительных чисел (по определению из Википедии)
Четвертый вопрос Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. А десятичная дробь это такая дробь у которой числитель - целое число, а знаменатель равен 10, т.е. является рациональным числом. Отсюда - иррациональное число - это рациональное число. Что не так с Википедией?
18.07.2019, 16:47 