О взаимно-сингулярных зарядах

[Gargantua]

Здравствуйте.
Читаю Халмоша "Теория меры", и не могу уловить сути понятия взаимно-сингулярных зарядов, то есть таких зарядов $\mu$ и $\nu$, что существует разбиение исходного пространства $X=A\cup B$, что $|\mu| (A \cap E) = |\nu| (B \cap E) = 0$ для любого измеримого множества $E$. Утверждается что из сингулярности не просто не следует абсолютная непрерывность зарядов, но и следует то, что мера $|\nu|$ может быть отлична от нуля лишь на тех множествах, на которых $|\mu| = 0$, то есть $\nu(E) \ne 0 \Rightarrow |\mu| (E) =0$. Здесь $|\nu|$ и $ |\mu|$ означают полные вариации соответствующих зарядов. Пробую расписать всё это по определению полной вариации, но ясности это не прибавляет.

[--mS--]

Я так понимаю, что вопрос состоит в том, как понимать вольную фразу из Халмоша о том, что одна мера способна быть отличной от нуля лишь там, где другая равна нулю. Там не даром стоит слово "вообще" :) Приведу пример, который мне ближе. Вместо зарядов я буду рассматривать неотрицательные меры, к тому же нормированные (т.е. вероятностные). Пусть мера $\mu$ есть любое абсолютно непрерывное (по мере Лебега) распределение - например, нормальное

$$\mu(B)=\int\limits_B \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx,$$

где $B\in\mathfrak B(\mathbb R)$ есть любое борелевское множество. Пусть мера $\nu$ есть любое дискретное распределение (для определённости, на множестве целых чисел) - например, распределение Пуассона

$$\nu(B)=\sum\limits_{k\in B} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$

Легко видеть, что это взаимно сингулярные меры: пусть $A=\mathbb Z$, $B=\mathbb R\setminus \mathbb Z$. Тогда $\mu(A)=0$, $\nu(B)=0$, ну и $\mu(A\cap E)=0$, $\nu(B\cap E)=0$ для любого борелевского $E$.

Грубо говоря, "носители" этих мер не пересекаются - мера $\mu$ сосредоточена на множестве целых чисел $B$, мера $\nu$ - на множестве $A$, т.е. на числовой прямой с выколотыми целыми точками. Именно это и имелось в виду той самой фразой из Халмоша: что множества, на которых положительна одна мера, есть нулевые множества другой, и наоборот. Попытка придать этой фразе точный смысл просто продублирует определение: если множество $E$ таково, что $\nu(E)\neq 0$, то и $\nu(A\cap E)\equiv \nu(E)\neq 0$ - мера ничего не потеряет от сужения на множество $A$. Но $\mu(A\cap E)=0$. И наоборот.

А высказывание $|\nu|(E)\neq 0 \Rightarrow |\mu|(E)=0$, конечно же, неверно. Достаточно здесь взять $E=\mathbb R$ (ну или всё $\mathcal X$).

[Munin]

--mS--
А можно проще? Пусть у нас $X=[0,1]\cup[2,3],$ и одна мера ненулевая на одном отрезке, а другая на другом?

[--mS--]

Конечно. Но мне роднее дискретное vs абсолютно непрерывное распределения.

[Red_Herring]

Тип этих зарядов/мер по отношению к стандартной евклидовой мере может быть абсолютно любым.

[--mS--]

Безусловно. А связь с исходным вопросом? Кстати, я не в курсе, что такое "стандартная евклидова мера".

[Red_Herring]

--mS-- в сообщении #1405789 писал(а):

А связь с исходным вопросом? Кстати, я не в курсе, что такое "стандартная евклидова мера".

Поскольку речь пошла о том что кому роднее, я просто хотел отметить что обе меры на отрезке могут быть не только взаимно сингулярными, но и сингулярными по отношению к стандартной евклидовой мере на этом отрезке.