25 или 26 половичков?

[melnikoff]

Пол в переговорке имеет размер 10 на 10 квадратов и раскрашен в шахматном порядке. Его украшают половичками размером 1 на 3 квадрата. Каким наименьшим количеством не перекрывающихся половичков можно покрыть все белые клетки в переговорке?

Моя попытка: Предположим, что существует раскладка, в которой каждый половичок покрывает 2 белые клетки. В этом случае потребуется 25 половичков. Но я смог построить раскладку только с 26 половичками. Но при этом доказать, что раскладки с 25 половичками не существует тоже не получается... После непродолжительных мучений решил посмотреть решение авторов. Вот оно:
Отметим 26 черных клеток: 10 на главной диагонали, 12 по двум параллельным ей диагоналям «длины» 6 и 4 по диагоналям длины 2. Легко видеть, что каждая полоска может покрыть не более одной отмеченной клетки. Значит, полосок понадобится не меньше чем 26.
Мне оно непонятно, а именно "Легко видеть, что каждая полоска может покрыть не более одной отмеченной клетки. Значит, полосок понадобится не меньше чем 26." А кто сказал, что должны быть покрыты именно отмеченные ячейки? Что имели в виду авторы?

[nnosipov]

melnikoff в сообщении #1405450 писал(а):

Что имели в виду авторы?

Авторы спутали белое с черным (то есть, если мы хотим покрыть половичками все белые клетки, то нужно выделить 26 белых "диагональных" клеток, а не черных).

[Dmitriy40]

Нет, они имели в виду что при любом расположении половичков каждый из них покрывает не более одной чёрной клетки, а их 26 штук.

[nnosipov]

Но тогда нужно доказывать, что если половички покрывают все белые клетки, то они покрывают и все указанные 26 черных клеток. А зачем, если без этого можно обойтись?

[Someone]

Давайте сначала в условии задачи заменим слово "белые" на слово "чёрные". Тогда авторское решение, очевидно, будет правильным. Теперь и в (исправленном) условии, и в решении поменяем "белые" (во всех грамматических формах) на "чёрные" (в соответствующих грамматических формах)…

[Лукомор]

Someone в сообщении #1405476 писал(а):

Давайте сначала в условии задачи заменим слово "белые" на слово "чёрные".

Это - не принципиально.

melnikoff в сообщении #1405450 писал(а):

Пол в переговорке имеет размер 10 на 10 квадратов и раскрашен в шахматном порядке.

"В шахматном порядке" - то-есть 50 белых квадратиков, и 50 черных.
Ответ будет одинаковый, что для белых, что для черных...

[eugensk]

Лукомор в сообщении #1405517 писал(а):

В шахматном порядке" - то-есть 50 белых квадратиков, и 50 черных.
Ответ будет одинаковый, что для белых, что для черных...

Просто равенства числа белых и черных квадратов, мне кажется , недостаточно для того чтобы ответ был одинаковым. В этом случае, из-за симметрии, это так, а вообще - не обязательно.

[wrest]

Если класть наискосок, то кажись, два половичка закрывают больше чем два черных квадрата. Потому что сумма двух корней из двух немножко меньше тройки. Но для реализации эффекта маловата доска.

[Someone]

Лукомор в сообщении #1405517 писал(а):

Это - не принципиально.

Ну почему же? Если в условии задачи заменить "белые" на "чёрные", то авторское решение, приведённое в первом сообщении, внезапно оказывается правильным.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1405547 писал(а):

Если в условии задачи заменить "белые" на "чёрные", то авторское решение, приведённое в первом сообщении, внезапно оказывается правильным.

Да, всё верно!
Для решения задачи, которая сформулирована в условии,
нужно пометить не черные, а белые клетки через одну, то-есть всего 26 штук.