Гипотеза о периодических решениях ОДУ

[zoo]

Коллеги, хотелось бы обсудить следующий вопрос. Имеется система ОДУ в $\mathbb{R}^m$.

$\dot{x}=f(t,x),\quad x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m,\quad f(t,x)=(f_1,\ldots,f_m)(t,x).$ (*)

Известно, что $f_k(t,x)$ - гладкие, скажем, $C^2(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^m)$ и $1-$периодические по $t,\quad t\ge 0.$
Будем, кроме того, считать, что решения данной системы бесконечно продолжаемы вправо по $t$.
У этой системы мы будем искать 1-периодическое решение с помощью конечномерной версии теоремы о неподвижной точке Браудера. Эта теорема формулируется так.

Th. Пусть $K\subset \mathbb{R}^m$ -- выпуклый компакт, и $H:K\to \mathbb{R}^m$ непрерывное отображение такое, что для любого $u\in \partial K$ найдется число $\lambda<0$ и точка $v\in K$
для которых выполнено равенство $H(u)-u=\lambda(v-u)$. Тогда отображение $H$ имеет неподвижную точку в $K$.

Неформально говоря, эта теорема означает, что если отображение растягивает компакт во всех направлениях то имеется неподвижная точка.

Вопрос, который я хочу предложить для обсуждения звучит так. Придумать конструктивно проверяемые условия для правой части системы (*), достаточные для того, чтобы отображение за период этой ситемы удовлетворяло условиям теоремы Браудера, и как следствие система имела периодическое решение. Например, можно ориентироваться на то, чтобы отображение за период удовлетворяло условиям теоремы Браудера, когда $K$ -- это шар достаточно большого радиуса с центром в начале координат.