Поражение мишени

[fred1996]

Камень швыряется из точки (0,0) с начальной скоростью $V_0$ под некоторым углом. Ускорение свободного падения $g$
Регулируя этот угол, можно попасть в цель, находящуюся под графиком $y\leqslant y_0-kx^2$.
Не доказывая сего факта, то есть приняв его как данность, определите к-ты $y_0, k$

[EUgeneUS]

fred1996
А в цель в других точках попасть невозможно?

[rockclimber]

А это точно олимпиадная задача? Кмк, максимум для 8-го класса...

[fred1996]

Это задача со школьной олимпиады весьма высокого уровня.
Задачка не сложная, но вселенькая. Тем более, если принять во внимание что для школьников.
Задачку я скорее дал для школьных преподавателей в качестве упражнения развития логики в "физической интуиции". Не думаю, что мои школьники так уж с ходу решат эту задачу.

-- 14.07.2019, 07:53 --

EUgeneUS в сообщении #1405064 писал(а):

fred1996
А в цель в других точках попасть невозможно?

Ну это вам в качестве доп Задания

[EUgeneUS]

fred1996 в сообщении #1405069 писал(а):

Это задача со школьной олимпиады весьма высокого уровня.

fred1996 в сообщении #1405069 писал(а):

Ну это вам в качестве доп Задания

Ежели "без доказательства", то всё как-то очень просто для олимпиады высокого уровня
А ежели с доказательством, что выше не попадаем ни в одну точку, а ниже в любую, то ничего так.
Имхо.

[fred1996]

А вот интересно, можно ли не считая, показать, что огибающая всех парабол будет тоже парабола?

[arseniiv]

Перейти в свободно падающую систему отсчёта?

-- Вс июл 14, 2019 22:01:26 --

Хотя мало пользы. Выпрямит все параболы и только.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1405079 писал(а):

А вот интересно, можно ли не считая, показать, что огибающая всех парабол будет тоже парабола?

"Классически" тот факт что прабола безопасности является параболой, выводится так: https://fiz.1sept.ru/articlef.php?ID=200801206
Но, вероятно, можно вывести и из энергетических соображений.

[fred1996]

wrest
Спасибо, но дифференцирование по параметру - это решение в лоб не школьными методами.
Насчет энергетических соображений - что-то верится с трудом.

[EUgeneUS]

fred1996
"Школьный метод".

1. Записываем уравнение параболы с параметром (параметр - тангенс угла).
2. Задаемся вопросом: для каких точек $(x_0, y_0)$ существует параметр?
3. Для этого подставляем $(x_0, y_0)$ в уравнение и решаем его относительно параметра.
4. Получаем обратно квадратное уравнение, приравниваем его дискриминат к нулю
5. Получаем уравнение параболы безопасности.

И никаких дифференцирований.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1405132 писал(а):

И никаких дифференцирований.

Ну вопрос-то был

fred1996 в сообщении #1405079 писал(а):

можно ли не считая, показать,

"Не считая", мы знаем, что искомая огибающая пересекает землю под углом 45 градусов (это прямо следует из того, что для максимальной дальности кидать надо под 45 градусов, соответственно снаряд и прилетает под 45 градусов, а касаться парабола снаряда и огибающая траекторий будут в точке падения а значит угол огибающей там 45 градусов.
"Не считая", мы таким образом знаем по крайней мере три точки огибающей: точки пересечения с землей и вершину.
Осталось найти соображения почему это парабола (а не, скажем, дуга окружности, которая на параболу безопасности весьма похожа).

Когда мы все-таки узнали что это парабола, мы сразу же можем сказать (не считая), что это в точности траектория снаряда, брошенного со скоростью в корень из двух раз большей, под углом 45 градусов.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1405134 писал(а):

Осталось найти соображения почему это парабола (а не, скажем, дуга окружности, которая на параболу безопасности весьма похожа).

так собственно в этом и был вопрос. Не стартового топика, а вот этот:

fred1996 в сообщении #1405121 писал(а):

Спасибо, но дифференцирование по параметру - это решение в лоб не школьными методами.

Посмотрим, что уважаемый ТС скажет, на предложенное решение школьными методами...

[wrest]

EUgeneUS
Задачка пересекается с темами «Туда и обратно» и «Туда и обратно - 2»

После ознакомления с вышеуказанными темами, становится очевидно (?) что точка касания траектории снаряда и огибающей находится из

$$V^2=g(L+h) \eqno(1)$$

где $V=const$ - скорость метания снаряда, $L$ - длина вектора перемещения снаряда, $h$ - высота подъема.
В прямоугольных координатах, если точка метания в начале координат, ось $y$ направлена вверх, а ось $x$ соответственно горизонтально, получается уравнение

$$V^2=g(\sqrt{y^2+x^2}+y) \eqno(2)$$

откуда и получаем уравнение параболы безопасности:

$$y=\dfrac{V^2}{2g} - \dfrac{g}{2V^2}x^2 \eqno(3)$$

Остается, чтобы вывести всё "не считая", получить (1) из энергетических соображений. Причем, понятно, коэффициент не важен (равен он $g$ или чему-то другому той же размерности) а важна прямая пропорциональность кинетической энергии старта ($V^2$) которая по условию задачи не меняется и куда можно докинуть ($L+h$). То есть, при $V=const$ получается $L+h=const$ !!
И вот это уже, мне кажется, можно бы как-то и на пальцах. Но пока -- не оформилось.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1405069 писал(а):

Это задача со школьной олимпиады весьма высокого уровня.

Сейчас перечитал первый пост (т.к. начал я читать с параболы безопасности и на первый пост изначально не смотрел).
Учитывая, что все школьники знают, что
1. Максимальная высота определяется энергетически ($mgh=\dfrac{mv^2}{2}$), то $y_0$ мгновенно вычисляется отсюда.
2. Максимальная дальность достигается при броске под 45 градусов, то значит вертикальная составляющая скорости будет корень из двух от модуля скорости по теореме пифагора, отсюда мгновенно находится время до вершины и обратно из уравнения равноускоренного движения, откуда находится собсно дальность $x_0$ и откуда находится $k$ приравниванием нулю правой части $0=y_0-kx_0^2$

Где же тут олимпиадность?

[fred1996]

wrest
Вы предложили стрелять под углом 90 и 45 градусов.
Вот в этом и олимпиадность.
Кстати, есть еще угол 0 градусов, при котором получается самая пологая парабола.

-- 15.07.2019, 07:00 --

EUgeneUS в сообщении #1405132 писал(а):

fred1996
"Школьный метод".

1. Записываем уравнение параболы с параметром (параметр - тангенс угла).
2. Задаемся вопросом: для каких точек $(x_0, y_0)$ существует параметр?
3. Для этого подставляем $(x_0, y_0)$ в уравнение и решаем его относительно параметра.
4. Получаем обратно квадратное уравнение, приравниваем его дискриминат к нулю
5. Получаем уравнение параболы безопасности.

И никаких дифференцирований.

Ну да, вполне школьный трюк, позволяющий не дифференцировать параболу.