Задача о натуральных числах, нужно доказательство.

[devis]

Добрый день уважаемые знатоки!

Продолжая осваивать задачи на тему о натуральных числах, а скоро с Божьей помощью может быть и теорию простых чисел освою, столкнулся вот с такой для меня не простой задачей.

Задача:

Докажите, что $KК(1,2,...,2n-1, 2n) = K(n+1, n+2,....,2n)$

Уточнение $KК$ - наименьшее общее кратное

Проблема:

Собственно если я решаю эту задачу для конкретного числа $(n)$, то путём вычисления я могу привести доказательство.

Например для $n = 5$ можно вычислить НОК обеих сторон равенства и убедится, что они совпадают. $2520 = 2520$
Тем самым я с одной стороны привёл доказательство, а с другой стороны его как бы не достаточно, нужно обобщение.
Нужно так нужно. Я посмотрел на левую сторону равенства и заметил, что там присутствуют все числа правой стороны.
Следовательно

$$KК(1,2,...,2n-1, 2n)$$

кратно

$$n+1 ; n+ 2; ...,2n$$

, а потому делится на

$$K(n+1, n+2,....,2n)$$

.
С другой стороны я заметил, что $KК(1,2,...,2n-1, 2n)$ можно записать как

$$KК(1,2,...,2n-1, 2n) = KК(1,2,...,n, K(n+1, n+2,....,2n))$ = $KК(K(1,2,...,n); K(n+1, n+2,....,2n))$$

.
Если я теперь докажу, что $KК(K(1,2,...,n); K(n+1, n+2,....,2n)) = K(n+1, n+2,....,2n)$ то тем самым приведу общее доказательство.
И тут вроде бы всё просто, есть правило если $aа : b $ то $KК(aа; b) = a$.
То есть мне всего то осталось выполнить деление $K(n+1, n+2,....,2n) : K(1,2,...,n)$.
На этом моменте я подвисаю и не знаю как это деление записать.
Есть ещё вот такая догадка. Можно заметить что количество элементов функции $K(n+1, n+2,....,2n)$ и $K(1,2,...,n)$ одинаково.
Но для каждого числа из функции $K(1,2,...,n)$ найдётся хотя-бы одно число из функции $K(n+1, n+2,....,2n)$ которое будет ему кратно, следовательно $K(n+1, n+2,....,2n) > K(1,2,...,n)$ и так как $K(n+1, n+2,....,2n)$ кратно $n+1, n+2,....,2n$, а $n+1, n+2,....,2n$ кратны $1,2,...,n$, то $K(n+1, n+2,....,2n)$ кратно $1,2,...,n$, и следовательно оно же кратно $K(1,2,...,n)$ и потому на него делится.

Помогите кто может.

Правильно ли я мыслю? Нужно ли вообще выполнять деление $K(n+1, n+2,....,2n) : K(1,2,...,n)$?

[alcoholist]

devisЧто за функция $K$?

[devis]

alcoholist в сообщении #1404707 писал(а):

devisЧто за функция $K$?

НОК, Наименьшее общее кратное

[DeBill]

Т.е., все что Вам осталось доказать - это что каждое из чисел от одного до $n$ делит Ваш большой НОК. Ясно, что достаточно доказать: каждое из этих чисел делит одно из чисел второй группы....

-- 12.07.2019, 14:35 --

devis в сообщении #1404706 писал(а):

Нужно ли вообще выполнять деление

Нехороший вопрос... Доказательств можно насочинять кучу; для некоторых это деление - нужно, для других - нет...

[devis]

DeBill в сообщении #1404714 писал(а):

Т.е., все что Вам осталось доказать - это что каждое из чисел от одного до $n$ делит Ваш большой НОК. Ясно, что достаточно доказать: каждое из этих чисел делит одно из чисел второй группы....

-- 12.07.2019, 14:35 --

devis в сообщении #1404706 писал(а):

Нужно ли вообще выполнять деление

Нехороший вопрос... Доказательств можно насочинять кучу; для некоторых это деление - нужно, для других - нет...

Спасибо за ответ, значит мои рассуждения были правельны. Подумаю теперь как доказать, что каждое из чисел первой группы делит одно из чисел второй группы