Простые "близнецы тройки"

[Soul Friend]

Назовём "близнецами тройки" такие простые числа, вида:

$$\lfloor \frac{prime(i)\cdot prime(i+1)}{3}\rfloor$$

где $prime(i)$ и $prime(i+1)$ - простые числа-близнецы.
Pari/GP код:

{a=1; for(i=1, 100, a; if(prime(i+1)-prime(i)==2 & isprime(floor((prime(i+1)*prime(i))/3))==1 & floor((prime(i+1)*prime(i))/3)+3>prime(i+1)+prime(i), print("a = ", a, "; ", "i = ", i, "; ", "P_(i) = ", prime(i), "; ", "P_(i+1) = ", prime(i+1), "; ", "P_3 = ", floor((prime(i+1)*prime(i))/3)); a=a++ ))}


a = 1; i = 3; P_(i) = 5; P_(i+1) = 7; P_3 = 11
a = 2; i = 5; P_(i) = 11; P_(i+1) = 13; P_3 = 47
a = 3; i = 7; P_(i) = 17; P_(i+1) = 19; P_3 = 107
a = 4; i = 13; P_(i) = 41; P_(i+1) = 43; P_3 = 587
a = 5; i = 26; P_(i) = 101; P_(i+1) = 103; P_3 = 3467
a = 6; i = 35; P_(i) = 149; P_(i+1) = 151; P_3 = 7499
a = 7; i = 41; P_(i) = 179; P_(i+1) = 181; P_3 = 10799
a = 8; i = 49; P_(i) = 227; P_(i+1) = 229; P_3 = 17327
a = 9; i = 83; P_(i) = 431; P_(i+1) = 433; P_3 = 62207
a = 10; i = 89; P_(i) = 461; P_(i+1) = 463; P_3 = 71147

Бесконечно ли таких простых "близнецов тройки" ?
По определению ответ зависит от доказательства бесконечности самих чисел-близнецов, но не гарантирует на сто процентов что и "близнецы тройки" будут встречаться бесконечно.

Можно обобщить на все простые числа, исключив условие что соседние простые должны быть близнецами :

{a=1; for(i=1, 100, a; if(isprime(floor((prime(i+1)*prime(i))/3))==1 & floor((prime(i+1)*prime(i))/3)+3>prime(i+1)+prime(i), print("a = ", a, "; ", "i = ", i, "; ", "P_(i) = ", prime(i), "; ", "P_(i+1) = ", prime(i+1), "; ", "P_3 = ", floor((prime(i+1)*prime(i))/3)); a=a++ ))}



a = 1; i = 3; P_(i) = 5; P_(i+1) = 7; P_3 = 11
a = 2; i = 5; P_(i) = 11; P_(i+1) = 13; P_3 = 47
a = 3; i = 6; P_(i) = 13; P_(i+1) = 17; P_3 = 73
a = 4; i = 7; P_(i) = 17; P_(i+1) = 19; P_3 = 107
a = 5; i = 13; P_(i) = 41; P_(i+1) = 43; P_3 = 587
a = 6; i = 14; P_(i) = 43; P_(i+1) = 47; P_3 = 673
a = 7; i = 26; P_(i) = 101; P_(i+1) = 103; P_3 = 3467
a = 8; i = 27; P_(i) = 103; P_(i+1) = 107; P_3 = 3673
a = 9; i = 30; P_(i) = 113; P_(i+1) = 127; P_3 = 4783
a = 10; i = 35; P_(i) = 149; P_(i+1) = 151; P_3 = 7499
a = 11; i = 41; P_(i) = 179; P_(i+1) = 181; P_3 = 10799
a = 12; i = 49; P_(i) = 227; P_(i+1) = 229; P_3 = 17327
a = 13; i = 62; P_(i) = 293; P_(i+1) = 307; P_3 = 29983
a = 14; i = 65; P_(i) = 313; P_(i+1) = 317; P_3 = 33073
a = 15; i = 83; P_(i) = 431; P_(i+1) = 433; P_3 = 62207
a = 16; i = 89; P_(i) = 461; P_(i+1) = 463; P_3 = 71147
a = 17; i = 90; P_(i) = 463; P_(i+1) = 467; P_3 = 72073

[Andrey A]

В первом случае имеем простые вида $12n^2-1$. Множество значений неприводимого многочлена, если не ошибаюсь, содержит бесконечное количество простых. Тонкость в том, что Вы их берете не все. Во втором случае решение уравнения $3x-Py=1$ выражается парой арифметических прогрессий, которые также содержат бесконечное количество простых, но нужно чтобы случилось одновременно. По ощущению там и там ответ положительный.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1404685 писал(а):

$3x-Py=1$

Ошибся. Уравнение другое, конечно: $Px-3y=2$, откуда $y=\left \lfloor \dfrac{Px}{3} \right \rfloor.$
Далее по тексту.

[Soul Friend]

Andrey A в сообщении #1404685 писал(а):

Тонкость в том, что Вы их берете не все.

Вот именно, то что 3 можно умножить на любое другое простое число это очевидно. Вопрос в том что бесконечно ли они будут предшествовать простым числам-близнецам? Как часто, есть ли зависимость?

[Dmitriy40]

Soul Friend
Ваш PARI/GP код не совсем правильный, условия надо объединять не по &, а по &&.
Более правильный и короткий код:

? a=0; pp=0; i=0; forprime(p=1,1000, p3=pp*p\3; if(p-pp==2 && isprime(p3), a++; printf("a=%u, i=%u, p(i)=%u, p(i+1)=%u, p_3=%u\n", a, i, pp, p, p3)); i++; pp=p)
a=1, i=2, p(i)=3, p(i+1)=5, p_3=5
a=2, i=3, p(i)=5, p(i+1)=7, p_3=11
a=3, i=5, p(i)=11, p(i+1)=13, p_3=47
a=4, i=7, p(i)=17, p(i+1)=19, p_3=107
a=5, i=13, p(i)=41, p(i+1)=43, p_3=587
a=6, i=26, p(i)=101, p(i+1)=103, p_3=3467
a=7, i=35, p(i)=149, p(i+1)=151, p_3=7499
a=8, i=41, p(i)=179, p(i+1)=181, p_3=10799
a=9, i=49, p(i)=227, p(i+1)=229, p_3=17327
a=10, i=83, p(i)=431, p(i+1)=433, p_3=62207
a=11, i=89, p(i)=461, p(i+1)=463, p_3=71147
a=12, i=116, p(i)=641, p(i+1)=643, p_3=137387
a=13, i=142, p(i)=821, p(i+1)=823, p_3=225227

Зачем Вам условие p3+3>p(i+1)+p(i) непонятно, оно же исключает лишь самую первую строчку из решений.
Ну и непонятно почему произведение делите на 3, можно ведь и на 2 делить, таких чисел тоже много.

-- 12.07.2019, 14:40 --

Вот количество ваших троек и количество близнецов в диапазонах степени десяти:

<10^1:2,2
<10^2:5,8
<10^3:13,35
<10^4:58,205
<10^5:225,1224
<10^6:1286,8169
<10^7:7724,58980
<10^8:49724,440312
<10^9:337407,3424506

Если построить графики в логарифмическом масштабе по последним пяти значениям, то они оба практически прямые, т.е. оба распределения описываются экспонентой, причём её показатели не сильно отличаются ($1{,}986$ для близнецов против $1{,}828$ для ваших троек) если верить экселю.

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1404739 писал(а):

Зачем Вам условие p3+3>p(i+1)+p(i) непонятно, оно же исключает лишь самую первую строчку из решений.

чтобы исключить самую первую строчку из решений.

Dmitriy40 в сообщении #1404739 писал(а):

Ну и непонятно почему произведение делите на 3, можно ведь и на 2 делить, таких чисел тоже много.

Потому что надо найти такие (по определению) нечётные числа $x$, где $x=3\cdot p_x=p_i \cdot p_{i+1}-2$
Для примера: дано число 35, имеет две простые делители 5 и 7, более близкое к нему, меньше него, нечётное число - 33, имеет две простые делители 3 и 11. То есть, максимально большое простое число, входящее в разлажение на простые множители до числа 35, это 11.
Да, мой код не для состязаний по программированию, но он работает.
Есть ли такой метод, функция,код или алгоритм выдающий самое большое простое число входящий в разложение на простые множители чисел до заданного $n$ ?

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1404744 писал(а):

Для примера: дано число 35, имеет две простые делители 5 и 7, более близкое к нему, меньше него, нечётное число - 33, имеет две простые делители 3 и 11. То есть, максимально большое простое число, входящее в разлажение на простые множители до числа 35, это 11.

Так дано число 35 или всё же даны близнецы 5 и 7?
Потому что из 35 получить 11 намного проще и без привлечения простых близнецов: px=precprime((35-2)\3).
И даже если даны именно 5 и 7, то достаточно заменить в скобках 35 на 5*7.
И ещё проще получить минимальное нечётное число, начиная с которого данное простое может входить в разложение на простые: min_n=3*p.
Соответственно я видимо не понял задачу, неужели хочется выяснить распределение (функциональную зависимость) максимального простого, точно входящего в разложение произведений простых близнецов? По другому простые близнецы как-то не прикручиваются.

-- 12.07.2019, 15:22 --

Soul Friend в сообщении #1404744 писал(а):

Есть ли такой метод, функция,код или алгоритм выдающий самое большое простое число входящий в разложение на простые множители чисел до заданного $n$ ?

О, кажется именно на это я уже и ответил выше.

[Soul Friend]

да, precprime-ом решается.
Искал зависимость или закономерность роста этого самого большого простого числа с простыми числами-близнецами.

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1404755 писал(а):

Искал зависимость или закономерность роста этого самого большого простого числа с простыми числами-близнецами.

Ну, произведение простых близнецов равно $p_i p_{i+1} = p_i^2 + 4p_i + 4$, т.е. растёт квадратично, вычтя два и поделив его на три квадратичный рост не изменится, а учитывая относительную малость интервалов между соседними простыми (по сравнению с величиной самих простых), то и взятие предыдущего простого квадратичность никак не изменит. Итого: квадратичный рост от величины простого близнеца. С точностью до коэффициента.
Вот как быстро растут сами простые близнецы - это вопрос другой. Но и гораздо более исследованный. Думаю даже в вики информации достаточно.

[Soul Friend]

Dmitriy40
Да, прояснили, спасибо.
Тогда интересней будет для обобщённого варианта:

{a=1; for(i=1, 10, a;  print("a = ", a, "; ", "i = ", i, "; ", "P_(i) = ", prime(i), "; ", "P_(i+1) = ", prime(i+1), "; ", "P_3 = ", precprime(floor((prime(i+1)*prime(i))/3))); a=a++ )}
a = 1; i = 1; P_(i) = 2; P_(i+1) = 3; P_3 = 2
a = 2; i = 2; P_(i) = 3; P_(i+1) = 5; P_3 = 5
a = 3; i = 3; P_(i) = 5; P_(i+1) = 7; P_3 = 11
a = 4; i = 4; P_(i) = 7; P_(i+1) = 11; P_3 = 23
a = 5; i = 5; P_(i) = 11; P_(i+1) = 13; P_3 = 47
a = 6; i = 6; P_(i) = 13; P_(i+1) = 17; P_3 = 73
a = 7; i = 7; P_(i) = 17; P_(i+1) = 19; P_3 = 107
a = 8; i = 8; P_(i) = 19; P_(i+1) = 23; P_3 = 139
a = 9; i = 9; P_(i) = 23; P_(i+1) = 29; P_3 = 211
a = 10; i = 10; P_(i) = 29; P_(i+1) = 31; P_3 = 293

Последовательности P_3 нет в OEIS, да и надо ли добавлять?

[Dmitriy40]

Обобщённый вариант имеет ту же скорость роста, квадратичную, т.к. интервал между соседними простыми растёт сильно медленнее величины чисел (менее 1551 для чисел до $2^{64}\approx 18\cdot10^{18}$, см. табличку по ссылке в вики чуть выше) и соответственно добавка к квадрату будет не более чем линейной (менее $1550p_i$ для чисел в том же диапазоне).
Для достаточно больших чисел не более чем линейную добавку можно игнорировать и оценить P_3 просто как $p_i^2/3$, верных цифр почти всегда получается всего на 2 меньше чем в исходном простом числе.
Зачем знать точное простое число не представляю, по моему оценки вполне достаточно.
Про OEIS ничего советовать не буду, моё мнение излишне категорично.

[Soul Friend]

Хочу сравнить номера этих простых чисел :$P_{i} ; P_{i+1} ; P_3 $ , как это сделать на Pari/GP ?
То есть, имеется простое число, и нужно узнать его порядковый номер в ряде простых чисел.

[Soul Friend]

фух, додумался, можно решить использовав primepi(P_3) :

{a=1; for(i=1, 100, a; if(prime(i+1)-prime(i)==2 & isprime(floor((prime(i+1)*prime(i))/3))==1 & floor((prime(i+1)*prime(i))/3)+3>prime(i+1)+prime(i), print("a = ", a, "; ", "i = ", i, "; ", "P_3 = ", floor((prime(i+1)*prime(i))/3), ", " , primepi(floor((prime(i+1)*prime(i))/3)), ", " ,  primepi(floor((prime(i+1)*prime(i))/3))-i); a=a++ ))}
a = 1; i = 3; P_3 = 11, 5, 2
a = 2; i = 5; P_3 = 47, 15, 10
a = 3; i = 7; P_3 = 107, 28, 21
a = 4; i = 13; P_3 = 587, 107, 94
a = 5; i = 26; P_3 = 3467, 486, 460
a = 6; i = 35; P_3 = 7499, 950, 915
a = 7; i = 41; P_3 = 10799, 1315, 1274
a = 8; i = 49; P_3 = 17327, 1992, 1943
a = 9; i = 83; P_3 = 62207, 6253, 6170
a = 10; i = 89; P_3 = 71147, 7044, 6955

как бы теперь вывести последние значения каждой строчки (2, 10, 21, 94, ...) в виде графики на вольфрамальфа?

[Soul Friend]

предыдущий код неправильный, вот правильный для обобщенного случая :

{a=1; for(i=1, 100, a; print(primepi(precprime((prime(i+1)*prime(i))/3))-primepi(prime(i))); a=a++ )}
0
1
2
5
10
15
21
26
38
52
64
84
94
108
130
159
179
200
231
249
272
305
341
392
436
460
486
510
536
612
701
750
793
853
915
962
1026
1089
1150
1226
1274
1347
1426
1470
1511
1604
1784
1897
1943
1990
2074
2124
2228
2358
2462
2567
2643
2705
2796
2851
2954
3182
3357
3419
3481
3665
3872
4038
4166
4228
4346
4497
4655
4786
4902
5023
5190
5334
5484
5712
5867
6016
6170
6265
6394
6527
6714
6872
6955
7044
7263
7551
7717
7893
8071
8212
8471
8689
8996
9371

Это всё от навязчивой мысли сосчитать все составные нечётные числа до $prime(i)\cdot prime(i+1)$ используя комбинаторику с нумерацией этих простых.