Диф.уравнение Бесселя

[СВ]

Помогите решить диф.уравнение 2-ого порядка:

(d^2/dz^2)+(1/z*dt/dz)-(1+(n^2/z))*t = 0

Это какой то частный случай уравнения Бесселя. Обратите внимание что Z в знаменателе в первой степени. (В общем случае уравнения Бесселя Z в степени 2).

[Sanyok]

Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?

[V.V.]

Sanyok писал(а):

Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?

Я бы сначала попытался решить с помощью преобразования Лапласа.
(В приложении к моему учебнику (см. подпись) есть примеры, как это делать.)

[Юрий Косовцов]

Maple 10 для уравнения

d^{2}t(z)/dz^{2}+1/z\frac {dt(z)}{dz} - (1+\frac {n^2}{z})t(z) =0

выводит следующий результат


\mathit{ans} := \mathrm{t}(z)=\mathit{\_C1}\,e^{( - z)}\,\mathrm{ KummerM}({\displaystyle \frac {n^{2}}{2}} + {\displaystyle \frac {1}{2}} , \,1, \,2\,z) + \mathit{\_C2}\,e^{( - z)}\, \mathrm{KummerU}({\displaystyle \frac {n^{2}}{2}} + {\displaystyle \frac {1}{2}} , \,1, \,2\,z)

Подстановка в уравнение дает 0=0

[Sanyok]

V.V. писал(а):

Sanyok писал(а):

Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?

Я бы сначала попытался решить с помощью преобразования Лапласа.
(В приложении к моему учебнику (см. подпись) есть примеры, как это делать.)

А можно ли таким путем найти все линейно-независимые базовые решения? (сорри, не помню как они наз-ся, например для обычного ур-я Бессея - это функции Бесселя и Неймана). Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

[Аурелиано Буэндиа]

Sanyok писал(а):

Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Найдешь, только нужно учитывать отрицательные степени

[V.V.]

Sanyok писал(а):

А можно ли таким путем найти все линейно-независимые базовые решения? (сорри, не помню как они наз-ся, например для обычного ур-я Бессея - это функции Бесселя и Неймана).

Фундаментальная система решений.

Sanyok писал(а):

Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь.

Если показатель функции Бесселя целый, то да, не найдешь. Если нецелый, то все замечательно находится.

Sanyok писал(а):

Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Вы имеете в виду случай целых $n$?

Есть несколько ответов на этот вопрос.

1. Если мы знаем одно решение уравнения второго порядка, то можем найти линейно независимое с ним по формуле Лиувилля-Остроградского.

2. Имеется теорема Фробениуса-Фукса, которая говорит, как искать решение в виде ряда для уравнения $t^ny^{(n)}+t^{n-1}a_1(t)y^{(n-1)}+\ldots+ta_{n-1}y'+a_n(t)y=0$, если все $a_i(t)$ аналитические в окрестности $t=0$. Вроде, эта теорема написана в книге Коддингтона и Левинсона. (В моей книге пока не написана. )
В этой теореме четко говорится, когда и в какой степени в разложении должен встретиться логарифм.

[V.V.]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Sanyok писал(а):

Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Найдешь, только нужно учитывать отрицательные степени

Для целых не найдешь.
Если не ошибаюсь, имеет место равенство $J_{n}(t)=(-1)^nJ_{-n}(t)$.

[V.V.]

СВ писал(а):

Помогите решить диф.уравнение 2-ого порядка:
(d^2/dz^2)+(1/z*dt/dz)-(1+(n^2/z))*t = 0
Это какой то частный случай уравнения Бесселя.

Я бы сказал, что это частный случай гипергеометрического уравнения. И даже вырожденного гипергеометрического уравнения - уравнения Куммера, которое записывается так:
$zu''+(\gamma-z)u'-\alpha u=0$.

Заменой $t(z)=e^{-t}u(z)$ Ваше уравнение приводится к
$tu''+(1-2t)u'-(n^2+1)u=0$...

[Sanyok]

V.V. писал(а):

Sanyok писал(а):

Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Вы имеете в виду случай целых $n$?

Да, именно целых.

V.V. писал(а):

Есть несколько ответов на этот вопрос.

1. Если мы знаем одно решение уравнения второго порядка, то можем найти линейно независимое с ним по формуле Лиувилля-Остроградского.

2. Имеется теорема Фробениуса-Фукса, которая говорит, как искать решение в виде ряда для уравнения $t^ny^{(n)}+t^{n-1}a_1(t)y^{(n-1)}+\ldots+ta_{n-1}y'+a_n(t)y=0$, если все $a_i(t)$ аналитические в окрестности $t=0$. Вроде, эта теорема написана в книге Коддингтона и Левинсона. (В моей книге пока не написана. )
В этой теореме четко говорится, когда и в какой степени в разложении должен встретиться логарифм.

Большое спасибо за ответ! Просто мне в свое время эти функции (Неймана) надо было вычислять, и пришлось немало потрудится, что бы найти, как это делается (нашел в справочнике Корна, который раздобыл с трудом).