Влияние разницы фаз компонентов в эксперименте со спином.

[fps24]

Есть следующая задача.

Дано: В эксперименте Фейнмана со спином электрона на верхнем пути среднего прибора осуществляется электростатическая задержка, увеличивающая время прохождения по верхнему пути так, что между верхней и нижней компонентами спина проходящего электрона возникает разница фаз: $\Delta\phi$ .

Требуется: Вывести формулу волновой функции электрона в последнем приборе с учётом $\Delta\phi$, рассчитать показания датчиков в последнем приборе для случая: $\Delta\phi$ = \pi .


Имеется в виду мысленный эксперимент Фейнмана со спином электрона, подробно рассмотренный в ФЛФ:



Там же Фейнман упоминает, что при дополнительной электростатической задержке в одном из путей - результаты эксперимента ( т.е. вероятности попадания электрона в верхний и нижний датчики в последнем приборе $P_+$ и $P_-$ ) должны измениться. Требуется вывести формулу зависимости результатов эксперимента от разницы фаз $\Delta\phi$ компонентов спина в среднем приборе.




Решение данной задачи представляется мне следующим.

Известно, что волновая функция, описывающая проекцию спина на направление $z$ в выбранном базисе - может быть без ущерба для эквивалентности описания домножена на произвольный постоянный фазовый коэффициент вида: $e^{i\phi}$



Это позволяет записать преобразование волновой функции между сечениями $S1$ и $S2$ в следующем виде:

$$e^{i\phi} \begin{pmatrix}\;1 & 0\;\\ \\\;0 & 1\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;e^{i\phi} & 0\\ \\0 & e^{i\phi}\end{pmatrix}$$

Тогда при задержке фазы верхнего компонента на $\Delta\phi$



преобразование волновой функции между сечениями $S1$ и $S2$ может быть записано как:

$$\begin{pmatrix}\;e^{i(\phi-\Delta\phi)} & 0\\ \\0 & e^{i\phi}\;\end{pmatrix} = e^{i\phi} \begin{pmatrix}\;e^{-\Delta\phi} & 0\;\;\\ \\0 & 1\;\;\end{pmatrix}$$

Где: $e^{i\phi}$ - неопределённый постоянный фазовый коэффициент, не влияющий на эквивалентность описания, а матрица преобразования может быть представлена в виде:

$$\begin{pmatrix}\;\;1 & 0\\ \\\;\;0 & e^{\Delta\phi}\;\end{pmatrix}$$

Волновая функция спина на выходе первого прибора имеет вид:

$$\psi_0 = \begin{pmatrix}\;1\;\\ \\\;0\;\end{pmatrix}$$

При повороте базиса описания во втором приборе на угол: $\alpha$ - спин в этом базисе поворачивается на угол: $-\alpha$ , поэтому в сечении $S1$ - волновая функция спина имеет вид:

$$\psi_1 = \begin{pmatrix}\;\cos\frac{-\alpha}2\ & \sin\frac{-\alpha}2\;\\ \\\;-\sin\frac{-\alpha}2 & \cos\frac{-\alpha}2\;\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\;1\;\\ \\\;0\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\frac{\alpha}2\\ \\\;\sin\frac{\alpha}2\;\end{pmatrix}$$

В сечении $S2$ - волновая функция спина имеет вид:

$$\psi_2 = \begin{pmatrix}\;\;1 & 0\\ \\\;\;0 & e^{\Delta\phi}\;\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\;\cos\frac{\alpha}2\\ \\\;\sin\frac{\alpha}2\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\cos\frac{\alpha}2\\ \\\;e^{\Delta\phi} \sin\frac{\alpha}2\;\end{pmatrix}$$

В последнем приборе волновая функция спина имеет вид:

$$\psi_3(\alpha,\Delta\phi) = \begin{pmatrix}\;\cos\frac{\alpha}2\ & \sin\frac{\alpha}2\;\\ \\\;-\sin\frac{\alpha}2 & \cos\frac{\alpha}2\;\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\;\cos\frac{\alpha}2\\ \\\;e^{\Delta\phi} \sin\frac{\alpha}2\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\cos^2\frac{\alpha}2 + e^{\Delta\phi} \sin^2\frac{\alpha}2\\ \\\;\;\cos\frac{\alpha}2 \sin\frac{\alpha}2 (e^{\Delta\phi}-1)\;\;\end{pmatrix}$$

Определим волновую функцию спина в последнем приборе для $\Delta\phi$ = 0 :

$$\psi_3(\alpha,0) = \begin{pmatrix}\;\cos^2\frac{\alpha}2 + \sin^2\frac{\alpha}2\\ \\\;\;\cos\frac{\alpha}2 \sin\frac{\alpha}2 (1-1)\;\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;1\;\\ \\\;0\;\end{pmatrix}$$

Определим волновую функцию спина в последнем приборе для $\Delta\phi$ = \pi :

$$\psi_3(\alpha,\pi) = \begin{pmatrix}\;\cos^2\frac{\alpha}2 - \sin^2\frac{\alpha}2\\ \\\;\;\cos\frac{\alpha}2 \sin\frac{\alpha}2 (-1-1)\;\;\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\;\cos\alpha\;\\ \\\;-\sin\alpha\;\end{pmatrix}$$

Рассчитаем вероятности $P_+$ и $P_-$ попадания электрона в верхний и нижний датчики в последнем приборе для $\Delta\phi$ = \pi и $\alpha = \frac\pi4$ :

$$\psi_3(\frac\pi4,\pi) = \begin{pmatrix}\;\cos\frac\pi4\;\\ \\\;-\sin\frac\pi4\;\end{pmatrix}$$

$$P_+ = \cos^2\frac\pi4 = 0.5$$

$$P_- = \sin^2\frac\pi4 = 0.5$$

Всё правильно посчитано?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: возобновление тем, ранее закрытых или перемещенных в Пургаторий.

-- 11.07.2019, 02:13 --

fps24, предупреждение за возобновление ранее закрытых или перемещенных в Пургаторий тем.