система уравнений

[Мироника]

Найти систему линейных уравнений, подпространство решений которой совпадает с линейной оболочкой системы векторов $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$.
$\alpha_1$=(1, -2, 2, 3), $\alpha_2$=(2, -3, 2, 4), $\alpha_3$=(2, 2, 1, 0)

Это означает надо составить систему уравнений, чтобы заданные векторы являлись решениями?
Переменных тогда будет 4? А уравнений 3?

[Someone]

Мироника писал(а):

А уравнений 3?

Сколько получится. Например, если векторы линейно независимы, то 4-3=1.

[RIP]

Мироника
Вам надо рассмотреть систему из 3 линейных уравнений с 4 неизвестными $Ax=0$, где $i$-я строка матрицы $A$ равна $\alpha_i$ ($i=1,2,3$). Найдите ФСР этой системы. Запишите элементы ФСР в одну матрицы, причём вектора записывайте в строчку (получится матрица размера $n\times4$, где $n$ - число векторов в ФСР). Если обозначить эту матрицу через $B$, то нужная Вам система $Bx=0$. (Проще всего это доказать с помощью понятия ортогонального дополнения.) Понятно хоть, что я написал?

[Мироника]

Да, понятно. Спасибо.
А подскажите как найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L ^\perp$

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

Знаю, что ортогональный базис - это базис, в котором векторы попарно ортогональны

[RIP]

Мироника писал(а):

А подскажите как найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L ^\perp$

Вы это просто так спрашиваете или в связи с задачей? Для решения задачи это не нужно, если что. А по существу вопроса: как вообще искать ортогональный базис? Ничего лучше, чем тупо найти какой-нибудь базис и потом ортогонализировать его по Граму-Шмидту, мне в голову не приходит.

[Мироника]

Понятно. Почитаю

Добавлено спустя 33 секунды:

Это я уже про другую задачу думаю

Добавлено спустя 27 минут 2 секунды:

А что означает подпространство $L ^\perp$ ?

[Azog]

простраство из векторов перпендикулярных к L

[RIP]

Мироника писал(а):

А что означает подпространство $L ^\perp$ ?

Это ортогональное дополнение. При этом, видимо, считается, что скалярное произведение задано формулой $\langle x;y\rangle=\sum_{i}x_iy_i$ (для вещественного пространства). Если $L$ задано системой, то, грубо говоря, $L^\perp$ - линейная оболочка строк матрицы этой системы.

[Мироника]

туплю...
можно подробнее
система такая
$2x_1+x_2+2x_3+3x_5=0$
$3x_1+2x_2+4x_3-x_4+9x_5=0$
требуется найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L ^\perp$

Расширенную матрицу приводим к ступенчатой, находим ФСР...?

[RIP]

Мироника писал(а):

Расширенную матрицу приводим к ступенчатой, находим ФСР...?

Поскольку система однородна, то рассматривать расширенную матрицу на самом деле бессмысленно: зачем сто раз лишние нули переписывать? Допустим, что Вы нашли ФСР. Это значит, что Вы нашли базис $L$, но он скорее всего не будет ортогональным. Применяем процесс ортогонализации Грама-Шмидта. С $L$ вроде разобрались. Теперь по поводу $L^\perp$ - это линейная оболочка векторов $(2;1;2;0;3)^T$ и $(3;2;4;-1;9)^T$ (см. предыдущий пост; на самом деле это нетривиальный факт ). Тут тоже не должно быть проблем.

[Мироника]

пока все ясно
буду пробовать

[RIP]

Если быть более педантичным, то стоит добавить: если мы работаем в пространстве $\mathbb R^5$, что очень похоже на правду, учитывая вид системы.