система нелинейных рекуррентных уравнений

[Kornelij]

Имеются три числовые последовательности $\left\{ {{x}_{k}}|k\ge 1 \right\}$ , $\left\{ {{y}_{k}}|k\ge 1 \right\}$, $\left\{ {{z}_{k}}|k\ge 1 \right\}$, элементы которых удовлетворяют такой системе соотношений:

$$\left\{ \begin{align} & \frac{1}{k+1}{{x}_{k}}+k{{x}_{k}}=2{{y}_{k}}+3{{z}_{k}}, ~ ~ k\ge 1, \\ & \frac{1}{k+1}{{x}_{k}}=2{{y}_{k}}-\frac{1}{k+1}{{z}_{k}}-\frac{1}{k}{{y}_{k-1}} , ~ ~ k\ge 2, \\ & \frac{1}{k+1}{{z}_{k}}+3{{z}_{k}}={{y}_{k-1}}+\frac{1}{k}{{z}_{k-1}} , ~ ~ k\ge 2.\\ \end{align} \right.$$

Возможно ли найти явный вид для этих числовых последовательностей или для их производящих функций (ясно, что с точностью до постоянных множителей, т.е. в зависимости от начальных условий)?
Если я выражаю элементы одной последовательности через элементы другой, то получаю нелинейную рекурсию глубины 4, с которой не понятно, что делать. Если домножением на степени некоторой переменной и суммированием свожу эту систему к системе уравнений для производящих функций, то получаю три интегро-дифференциальные уравнения, с которыми тоже не понятно, что делать.
Возможно, у кого-то будет идея решения или кто-то уже где-то что-то похожее встречал?

[mihiv]

Если ввести последовательность $q_k=\dfrac {x_k}{z_k}$, то $q_k$ выражается ( нелинейно )через $q_{k-1}$. Может быть здесь получится какое-то упрощение.

[alcoholist]

Kornelij в сообщении #1403647 писал(а):

система нелинейных

и очень всё линейное и однородное

[Евгений Машеров]

Тут всё очень линейно. Решаем систему линейных уравнений относительно $x_k, y_k, z_k$, считая $x_{k-1}, y_{k-1}, z_{k-1}$ свободными членами. Получаем
$X_k=AX_{k-1}$ (где X - вектор из x, y, z)
Находим собственные числа матрицы A.
$A=Q^{-1}\Lambda Q$ (вообще говоря, там может быть не диагональная лямбда, а жорданова форма J, но разница между матрицей, которую можно диагонализировать и которую нельзя, в пределах погрешности вычислений)
$X_k=Q^{-1}\Lambda^k Q X_0$
(обобщать на случай жордановой формы ленив...)
Собственные значения, вообще говоря, комплексны. Это значит, что они задают колебания, декремент затухания (ну, или нарастания, если модуль больше единицы) которых зависит от модуля собственного значения, а частота от аргумента. Мнимых чисел в ответе опасаться не надо, поскольку они будут комплексно сопряжённые (или действительные), и мнимые части взаимогасятся.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1404682 писал(а):

Тут всё очень линейно. Решаем систему линейных уравнений относительно $x_k, y_k, z_k$, считая $x_{k-1}, y_{k-1}, z_{k-1}$ свободными членами. Получаем
$X_k=AX_{k-1}$ (где X - вектор из x, y, z)

Матрица $A$ и все последующие зависят от $k$. Система-то линейна, но не с постоянными коэффициентами, поэтому данный стандартный подход не работает (по крайней мере, если речь идет о точной зависимости $X_k$ от $k$).

[Евгений Машеров]

Прошу прощения, не обратил внимания на зависимость коэффициентов от номера k. Тогда чуть сложнее. На каждом шаге находится матрица $A_k$ перехода и решение ищется в виде $\prod A_k X_0$

[alcoholist]

nnosipov в сообщении #1404693 писал(а):

Матрица $A$ и все последующие зависят от $k$

В матрице $A(k)$ первый столбец нулевой. Вроде это облегчает жизнь.

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1404694 писал(а):

решение ищется в виде $\prod A_k X_0$

И затем надеяться, что произведение можно как-то упростить.

-- Пт июл 12, 2019 14:25:08 --

alcoholist в сообщении #1404695 писал(а):

Вроде это облегчает жизнь.

Просто матрица $A_k$ будет 2-го, а не 3-го порядка. Я сейчас на нее смотрю --- довольно неприятно выглядит.

[DeBill]

Kornelij в сообщении #1403647 писал(а):

то получаю нелинейную рекурсию глубины 4,

вычитая из первого второе, и используя третье, с помощью первого (или второго) можно получить систему два на два, которая сведется к рекурсии глубины 2 (но - неавтономной (Вы же везде пишите "нелинейной", что не есть хорошо)).
однако, непохожа она на решабельную (ну разве что Вам удастся угадать одно решение - тогда, как и в ОДУ, линейное уравнение второго порядка решается методом вариации постоянной). Однако, частного решения что-то не видно....
Про интегро-дифференциальные: не, это не из этой оперы... Вводя обозначения для первообразных, получите линейную неавтономную систему ОДУ (да, четвертого порядка). Такие системы явно решаются исключительно редко (для этого надо попарную коммутируемость всех матриц сиситемы иметь, вааще говоря)

-- 12.07.2019, 12:42 --

nnosipov в сообщении #1404696 писал(а):

Я сейчас на нее смотрю --- довольно неприятно выглядит.

Ага и ага...

[Евгений Машеров]

Во втором слева точно икс, а не игрек?

[Kornelij]

Евгений Машеров в сообщении #1404729 писал(а):

Во втором слева точно икс, а не игрек?

Да, точно.

[Лукомор]

Kornelij в сообщении #1403647 писал(а):

Возможно ли найти явный вид для этих числовых последовательностей

Если поменять местами левую и правую части второго уравнения, а затем сложить отдельно левые части, и отдельно правые части всех уравнений, то должно получиться выражение $x_k$ через $y_{k-1}$ и $z_{k-1}$.