Первая аксиома Пеано

[vesennygnom]

Всем привет! Прошу не кидаться тапками я не математик))
Вопрос такой - первая аксиома Пеано гласит, что $1\in\mathbb{N}$
А где он берет эту единицу? Во времена Пеано об этом не задумывались, но сейчас единица - это типа то, что можно создать и записать?

[Aritaborian]

vesennygnom в сообщении #1403495 писал(а):

А где он берет эту единицу?

Из воздуха. В его случае так можно.

-- 05.07.2019, 23:56 --

vesennygnom в сообщении #1403495 писал(а):

Прошу не кидаться тапками я не математик

Ну так и проходили бы спокойно мимо своей дорогой.

[vesennygnom]

Aritaborian в сообщении #1403504 писал(а):

vesennygnom в сообщении #1403495 писал(а):

А где он берет эту единицу?

Из воздуха. В его случае так можно.
а можно поподробнее? может где нибудь про это написано?

[george66]

Имеется в виду "в натуральном ряде есть некая штуковина, которую будем называть единицей". Неопределяемое понятие, ниоткуда не берётся, никак не строится. Аксиомы выражают свойства неопределяемых понятий, а не говорят, откуда их брать.

[arseniiv]

Вообще аксиомы Пеано есть почти в точности описание $\mathbb N$ как индуктивного типа/множества (выбирать на свой вкус), притом крайне простого (проще только перечисления конечных множеств/типов элемент за элементом), так что в разумном смысле ничего ещё конструктивнее в математике найти будет нельзя. Все подобные построения рано или поздно будут утыкаться в нечто постулируемое. И никак иначе сделать нельзя, потому что математика устроена так, чтобы позволять говорить о вещах переносимых от человека к человеку, от места к месту тождественно; зависящих лишь от того, от чего мы пожелали. У самих желаний может быть совершенно разная мотивация, для достаточно хитрых понятий обычно полностью внутриматематическая.

-- Сб июл 06, 2019 05:46:43 --

И да, важно, vesennygnom, рассматривать не одну аксиому отдельно, а все разом. Одна эта аксиома не определяет множество натуральных чисел, она определяет любые непустые множества. И аксиома о последующем элементе должна наверно видеться ещё подозрительнее, чем эта.

[Mikhail_K]

vesennygnom в сообщении #1403495 писал(а):

Прошу не кидаться тапками я не математик))
Вопрос такой - первая аксиома Пеано гласит, что $1\in\mathbb{N}$
А где он берет эту единицу?

Ну вот в аксиомах школьной геометрии говорится про точки и прямые.
Откуда они берутся и что они такое означают - не говорится, но зато говорится об их свойствах и связях между ними, например о том, что через любые две различные точки можно провести прямую, и притом только одну.
Вот и здесь так же: не говорится, что такое $1$ и что такое $\mathbb{N}$, зато сказано, как они связаны: $1\in\mathbb{N}$.

А если мы захотим определить $1$, то это тоже можно, но уже за пределами аксиоматики Пеано. В аксиомах Пеано $1$ - неопределяемое понятие, с которого всё начинается. В любой теории должны быть неопределяемые понятия, потому что цепочка определений должна с чего-то начинаться. Определить $1$ можно, например, построив модель натуральных чисел в рамках $ZFC$, но и тогда останутся неопределяемые понятия, такие как множество.

[vesennygnom]

arseniiv в сообщении #1403516 писал(а):

Вообще аксиомы Пеано есть почти в точности описание $\mathbb N$ как индуктивного типа/множества (выбирать на свой вкус), притом крайне простого (проще только перечисления конечных множеств/типов элемент за элементом), так что в разумном смысле ничего ещё конструктивнее в математике найти будет нельзя. Все подобные построения рано или поздно будут утыкаться в нечто постулируемое. И никак иначе сделать нельзя, потому что математика устроена так, чтобы позволять говорить о вещах переносимых от человека к человеку, от места к месту тождественно; зависящих лишь от того, от чего мы пожелали. У самих желаний может быть совершенно разная мотивация, для достаточно хитрых понятий обычно полностью внутриматематическая.

-- Сб июл 06, 2019 05:46:43 --

И да, важно, vesennygnom, рассматривать не одну аксиому отдельно, а все разом. Одна эта аксиома не определяет множество натуральных чисел, она определяет любые непустые множества. И аксиома о последующем элементе должна наверно видеться ещё подозрительнее, чем эта.

ну, я смотрю на эту единицу как на бит информации. и инкрементация меня свершенно не пугает, так как это создание еще одного бита.

Цитата:

Вообще аксиомы Пеано есть почти в точности описание $\mathbb N$ как индуктивного типа/множества (выбирать на свой вкус), притом крайне простого (проще только перечисления конечных множеств/типов элемент за элементом), так что в разумном смысле ничего ещё конструктивнее в математике найти будет нельзя

а какие типы заданий бывают еще у множеств?

[Someone]

vesennygnom в сообщении #1403531 писал(а):

ну, я смотрю на эту единицу как на бит информации

И совершенно напрасно, так как Вы привлекаете сущность, к арифметике никакого отношения не имеющую.

[vesennygnom]

Someone в сообщении #1403545 писал(а):

vesennygnom в сообщении #1403531 писал(а):

ну, я смотрю на эту единицу как на бит информации

И совершенно напрасно, так как Вы привлекаете сущность, к арифметике никакого отношения не имеющую.

ну, число ведь както записать надо? число же не существует в вакууме. и, говоря что у нас единица, мы подразумеваем, что можем ее создать. или она просто «есть» по аксиоматике, и все остальные чудеса происходят дальше?

[arseniiv]

Ну где запись, а где бит. Совсем разное.

vesennygnom в сообщении #1403550 писал(а):

и, говоря что у нас единица, мы подразумеваем, что можем ее создать. или она просто «есть» по аксиоматике, и все остальные чудеса происходят дальше?

«Создать» обычно не имеет какого-то внутриматематического смысла, так что видимо лучше понимать, что единица уже есть. Мы можем поминать её сколько угодно раз (включая и нисколько), но это не будет созданием чего-то.

vesennygnom в сообщении #1403531 писал(а):

а какие типы заданий бывают еще у множеств?

Вообще то, что я сказал — не какой-то особый исходный способ задания множеств, это больше «схема», а теория множеств обычно оперирует уровнем пониже. Если вам интересна именно аксиоматическая теория (что вряд ли, на текущем уровне она всё скорее всего только запутает), то посмотрите на ZFC, и наверно её описание в книге Куратовского, Мостовского «Теория множеств» достаточно человечное для тех, кто не имел до того дела с формальной математикой (матлогика, основания, теория множеств, теории типов — это всё она). Есть и другие книги, сразу не ударяющиеся в формулы, но я в них специально не копался. Но, ещё раз, я всё равно не уверен, что это будет полезным.

[vesennygnom]

Цитата:

Ну где запись, а где бит. Совсем разное

вот тут позвольте не согласиться) бит это единица, «вырезанная» на поверхности допустим жесткого диска, ну или нарисованная на листке, как во времена пеано. как раз материальное воплощение понятия числа

[iifat]

vesennygnom в сообщении #1403550 писал(а):

число ведь както записать надо?

Надо. Но все эти записи лежат вне аксиоматики Пеано. В аксиоматике Пеано число 3, например, записывается $succ\,succ\,succ\,1$

-- 06.07.2019, 21:45 --

vesennygnom в сообщении #1403558 писал(а):

материальное воплощение понятия числа

И все эти «материальные воплощения» также лежат вне аксиоматики Пеано и ею не рассматриваются.

[arseniiv]

vesennygnom в сообщении #1403558 писал(а):

вот тут позвольте не согласиться) бит это единица, «вырезанная» на поверхности допустим жесткого диска, ну или нарисованная на листке, как во времена пеано. как раз материальное воплощение понятия числа

Нет, строго бит — это количество информации, получаемое при подкидывании честной монетки (то есть информационная энтропия распределения с вероятностями исходов $\frac12, \frac12$). Тут важно, что у нас есть одно из двух значений и то, что с равной вероятностью. В нестрогом понимании вероятности просто, конечно, не вводят, но и в таком случае черта где-то — это не бит. Натуральных чисел далеко не два, ну и рассматривать единицу отдельно от них — это совсем не то, что практически полезно. К тому же если её отделить, у неё нет никакой альтернативы, смотреть на единицу даёт ноль (даже не важно, бит или других единиц количества информации). И если вы будете фиксироваться на обязательном соединении разнородных понятий, вам это не поможет разобраться с аксиомами Пеано или с чем-то ещё.

[vesennygnom]

Цитата:

Надо. Но все эти записи лежат вне аксиоматики Пеано. В аксиоматике Пеано число 3, например, записывается $succ\,succ\,succ\,1$

ну да, инкрементим 2 (там же suc(suc(1))??) раза. я не понимаю что тут такого? обычная операция. Я к тому, что за suc допустим должна стоять некая машина, которая выдает единицы и прибавляет их к имеющимся.

Цитата:

Нет, строго бит — это количество информации, получаемое при подкидывании честной монетки (то есть информационная энтропия распределения с вероятностями исходов $\frac12, \frac12$)

ммм)) я как программист имел в виду некий бит информации, то есть ту самую "единицу".

Цитата:

Натуральных чисел далеко не два

все остальные получаются инкрементом

Цитата:

К тому же если её отделить, у неё нет никакой альтернативы, смотреть на единицу даёт ноль (даже не важно, бит или других единиц количества информации).

не совсем понял это. аксиоматика вводит еще и инкремент, который не менее важен и дает все остальное

[Connector]

vesennygnom в сообщении #1403495 писал(а):

первая аксиома Пеано гласит, что $1\in\mathbb{N}$

Первая аксиома может формулироваться несколько иначе:
Существует такой $1$ $\in$ $N$, что для любого $x$ $\in$ $N$, $Sc(x)$ $\ne$ $1$.
Хотя с логической точки зрения такое утверждение избыточно.
Тогда единица с самого начала вводится как элемент, обладающий некоторым свойством — а именно начальный элемент (хотя, конечно, остаётся основным объектом, допускающим только аксиоматическое определение).