Аддитивная функция для любых множеств

[Cryohron]

Вероятность обладает свойством аддитивности для попарно несовместных событий (непересекающихся множеств).
Может ли какая-нибудь функция $\mu\colon\mathfrak{F}\to\mathbb{R}$ удовлетворять свойству $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ при любых событиях $A$ и $B$. Здесь $\mathfrak{F}$ -- сигма-алгебра событий (множеств). Привести пример такой функции и доказать, что других не существует.

Честно говоря, каких-либо продуктивных попыток решения у меня нет. Считаю, что это должна быть очень простая функция и очень простое доказательство. Подскажите, в какую сторону думать.

[mihaild]

Подставьте в аддитивность $A = B$.

[Cryohron]

mihaild в сообщении #1402463 писал(а):

Подставьте в аддитивность $A = B$.

ОК.
$\mu(A\cup A)=\mu(A)+\mu(A)=2\mu(A)$
C другой стороны,
$\mu(A\cup A)=\mu(A)$
Следовательно,
2\mu(A)=\mu(A)$
\mu(A)=0$

Так что ли?

[arseniiv]

Да. Вот вы одновременно и пример привели, и доказали, что по-другому быть не может, раз это можно проделать для всех множеств в $\mathfrak{F}$.

[Cryohron]

arseniiv в сообщении #1402473 писал(а):

Да. Вот вы одновременно и пример привели, и доказали, что по-другому быть не может, раз это можно проделать для всех множеств в $\mathfrak{F}$.

Спасибо всем за разъяснения!
Действительно, оказалось элементарно. И функция до неприличия тривиальная.